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上海教育版数学高一上1.4《命题的形式及等价关系》word教案4篇


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课题:___命题___

教学任务

能判断简单命题的真假、掌握四种命题的关系、掌握充要条

知识与技能目标 件的判断、理解反证法的理论依据并且会应用反证法证明数 [

学命题





学生通过“回顾-反思-巩固-小结”的过程中掌握四种命

目 过程与方法目标 题的关系,理解反证法的理论依据且会应用,体会命题间简 标
单的逻辑关系.

情感,态度与价值 在探究活动中,培养学 生独立的分析和探索精神
观目标

重点 能掌握四种命题的关系、掌握充要条件的判断。

难点 能应用反证法证明数学命题,利用命题关系研究新的数学命题。

活动流程图 活动 1 课前热身-练习 活动 2 概念性质-反思 活动 3 提高探究-实践 活动 4 归纳小结-感知

教学流程说明 活动内容和目的
重温概念与性质 深刻理解定义与性质 挖掘定义性质的内涵与外延 让学生在合作交流的过程总结知识和方法

活动 5 巩固提高-作业

巩固教学、个体发展、全面提高

教学过程设计

问题与情境

师生行为

设计意图

活动 1 课前热身(资源如下)

1、“凡直角均相等“的否命题是…( C ) (A)凡不是直角均不相等。(B)凡相等的两角均为

直角。(C)不都是直角的角不相等。(D)不相等的

能从中回忆

角不是直角。

逆命题:若 x = 0 起 四 种 命 题

2、写出命题“若 xy= 0 则 x = 0 或 y = 0”的逆 或 y = 0 则 xy = 0 体 会 其 中 四

命题、否命题、逆否命题

否命题:若 xy ? 0 种 命 题 之 间

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3 、已知 P:|2x-3|>1;q:

1

? 0 ;则﹁p

x2 ? x ?6

是﹁q 的…………( A )条件

则 x ? 0且 y ? 0 逆否命题:若 x ? 0

的关系,回忆 充分、必要、

(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件 (C) 且 y ? 0 则 充 要 条 件 及

充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 xy?0.

其判断方法。

4 、“ x2 ? 3x ? 2 ? 0 ” 是 “ x ? 1 或 x ? 4 ” 的 常见词的否定

能运用反正 法思想判断

( C)





(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 都是

是 假命题
大于

充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

5、命题甲:x+y≠3,命题乙:x≠1 且 y≠2.则甲是

乙的 充分非必要

条件.

6、有下列四个命题:

所有的 任一个 至少一 个 至多一个 P 或 q P且q 词语的否定 不是 至少 有一个(不都是 不大于

①命题“若 xy ? 1,则 x ,y 互为倒数”的逆命题; 某些 某一个 一个也没

有 至少两个 P 且 ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题;③
q P或 q
命题“若 m ≤1,则 x2 ? 2x ? m ? 0 有实根”

的逆否命题;④命题“若 A ∩ B = B ,则 A ? B ”

的逆否命题。其中是真命题的是 ③ ① ②

(填上你认为正确的命题的序号).

活动 2 概念性质

1、“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;

2.逻辑符号: “或”的符号是“∨”,例如“P 或 q”可以记作
“P ∨q”; “且”的符号是“∧”,例如,“P 且 q”可以记作 “P∧q”;
“非”的符号是“┑”,例如,“非 P”可以记作 “┑P”.

在回顾概念 的同时知晓 其中的深层 的含义、联 系、一般应用 方法。

3、若 p 为原命题条件,q 为原命题结论

学生会用举范例证

则:原命题:若 p 则 q 逆命题:若 p 则 q 否命题 明假命题。

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若 ?p 则 ?q 逆否命题若 ?q 则 ?p 4、四种命题及其形式

原命题:若 p 则 q;

逆命题:若 q 则 p;

否命题若┑p 则┑q;

四种命题关系表

逆否命题若┑q 则┑p.
5、若 p ?q 成立,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的

原命题 若 p则 q
互 否
否命题 若 ┐p则 ┐q

互逆





否 逆

逆命题 若 q则 p




逆 否



互逆


逆否命题 若 ┐q则 ┐p

必要条件

★当证明“若 p ,则 q ”感到困难时,改证它的等 注:____是_____的

价命题“若┑ q 则┑ p ”成立,

____条件

6、反证法:步骤:1、假设结论反面成立;2、从

这个假设出发,推理论证,得出矛盾;

3、由矛盾判断假设不成立,从而肯

定结论正确。

矛盾的来源:1、与原命题的条件矛盾;

2、导出与假设相矛盾的命题;

3、导出一个恒假命题。

活动 3 提高探究

逆命题:当 c>0 时,

资源 1、设原命题是“当 c>0 时,若 a>b,则 ac>bc”, 若 ac>bc,则 a>b.

写出它的逆命题、否命题与逆否命题,并分别判断 它是真命题

它们的真假.

否命题:当 c>0 时,

若 a ? b,则 ac ? bc.
它是真命题;

逆否命题:当 c>0

时,若 ac ? bc,则 a ? b.它是真命题.

资源 2、指出下列各题中,P 是 q 的什么条件?

让学生体会得出:

①P:0<x<3

q:|x-1|<2

当一个命题的真假

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②P:(x-2)(x-3)=0 q:x=2 ③P:c=0 q:抛物线 y=ax2+bx+c 过原点 ④P:A B ? S q:CSB CSA

不易判断时,可考 虑判断其等价命题 的真假;

⑤P:a ? b ? a ? c q:b ? c (a,b,c 均是非零向量)

⑥P:对 任意的 n ? N * ,点 Pn (n, an ) 都在直 线

y ? 2x ? 1上 q:数列{an }是等差数 列 资 源 3 、 已 知 p : | 1 ? x ?1 |? 2 , q :
3 x2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) ,若┑ p是 ┑ q 的充

0<m ? 3

分不必要条件,求实数 m 的取值范围。 资源 4、若 a2 能被 2 整除,a 是整数,求证:a
也能被 2 整 除. 证:假设 a 不能被 2 整除,则 a 必为奇数, 故可令 a=2m+1(m 为整数), 由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明 a2 是奇数, 这与题中的已知条件(a2 能被 2 整除)相矛盾, ∴a 能被 2 整除.

反证法证明 的掌握

资源 5、数集 A 满足条件;若 a∈A,则有 1? a ? A , 1? a
(1)当 2∈A 时,求集合 A;(2)若 a∈R, 求证:A 不可能是 单元素集合 活动 4 归纳小结

反证法证明 的掌握

活动 5 巩固提高 一、选择:

命题

附作业

巩固发展提 高

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1、 a ? b是a ≥ b成立的( A )

A 充分而不必要条件

B 必要而不充分条件

C 充分必要条件

D 即不充分也不必要条件

2、给出如下的命题:①对角线互相垂直且相等的平面四边形是正方形;②00=1;③如果 x+y

是整数,那么 x,y 都是整数;④ 10 <3 或 10 >3.其中真命题的个数是……( D )

(A)3

(B)2

(C)1

(D)0 .

3、已知 p 是 r 的充分不必要条件, s 是 r 的必要条件, q 是 s 的必要条件.那么 p 是 q 成

立的:( A )

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件 [

4、一元二次方程 ax2 ? 2 x ?1 ? 0, (a ? 0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是

(C )

(A) a ? 0
二、填空:

(B) a ? 0

( C) a ? ?1

(D) a ?1

5、写出“a,b 均不为零”的

(1)充分非必要条件是 a ? 1,b ? 2 (2)必要非充分条件是:_ a ? 0 _

(3)充要条件是 ab ? 0

(4)非充分非必要条件是 ab ? 0

6、在以下空格内填入“充分非必要条件”,“必要非充分条件”,“充要条件”,“非充

分非必要条件”

(1)“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的

充要条件

(2)“a>2 且 b>2”是“a+b>4 且 ab>4”的 充分非必要条件

(3)

?1 ? ??0 ?

x? xy

y ?

? 2

3是???10??

x y

? ?

1 2

的_______必要非充分________条件

7、 x ? 1 的一个充分不必要条件是 y

____ x>y>0___________

8、指出下列各题中甲是乙的什么条件?

(1)甲:a、b、c 成等比数列;乙:b2=ac______充分非必要条件_________________.

(2)甲: a ? ? ,乙 : tan a ? 3 ______必要非充分________ 3

(3)甲:直线

l1∥l2,乙:直线

l1



l2

的斜率相等______非必要非充分_____ [

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三、解答 9、已知命题 P:方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的负根;Q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实
根.若 P 或 Q 为真,P 且 Q 为假,求 m 的取值范围.
答案: ?1,2? ?3,???
10、试写出一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ,①有两个正根②两个小于 ?2 的根
③一个正根一个负根的一个充要条件。 答案:略 11、a1、b1、c1、a2、b2、c2 均为非零实数,不等式 a1x2+b1x+c1>0 和 a2x2+b2x+c2>0 的解集分别
为集合 M 和 N,试判断“ a1 ? b1 ? c1 ”是“M=N”的什么条件,并说明理由。 答 a2 b2 c2
案:非充分非必要
12、已知 f (x)、g(x) 均为 R 上的单调增函数。 命题 1: f (x) ? g(x) 为 R 上的单调增函数;命题 2: f (x) ? g(x) 为 R 上的单调增函数
判断两个命题的正确性,并说明理由;不正确的话给出附加条件,使之成为真命题。
答案:真,假; f (x)>0,g(x)>0
1.4 (1)命题的形式及等价关系
一、教学内容分析 命题的有关概念在初中平面几何中已学过,本章在此基础上对命题作较深入的研究,
特别强调要确定命题真 假都必须证明。举反例既可以确定一个命题是假命题,同时它又是 一个重要的数学思想。
推出关系是数学证明中最重要的逻辑关系。教材用比较通俗的说法给出了推出关系的 意义及符号。
教材介绍了四种命题的构成及等价命题的概念,这给我们今后证明一个命题为真(假) 命题可转化该命题的等价命题(通常是逆否命题)为真(假)命 题提供了理论依据。
本小节首先从初中数学的命题知识入手,给出推出关系,等价关系的概念,接着,讲 述四种命题的关系,最后,在初中的基础上,结合四种命题的知识,进一步讲解反证法。
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二、教学目标设计 理 解四种命题之间的相互关系,能由原命题写出其他三种形式;知道推出关系的概念,
理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系;掌握等价关系的概念,初步掌握反证法。
三、教学重点及难点

理解四种命题的关系;体会反证法的理论依据。 四、教学用具准备

多媒体

复习引入

五、教学流程设计

概念 解释

推出关系 等价关系

例题 解析

巩固练习

课堂小结并布置作业
六、教学过程设计
一、 复习回顾 在初中,我们已学过命题,真命题,假命题。 命题:表示判断的语句。真命题:正确的命题。 假命题:错误的命题。 命题 “全等三角形的面积相等”的条件与结论各是什么? 本节将进一步研究命题与其有关的命 题的概念。
[说明]通过学生回顾以前的知识,唤起他们原有认知结构中的知识结点,从而为下面的要
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学习的一些下位概念的同化和顺应提供最近发展区。 二、讲授新课 1.命题
例 1:下列语句哪些不是命题,哪些是命题?如果是命题,那么它们是真命题还是假命题? 为什么?(课本例题)
1.个位数是 5 的自然数能被 5 整除; 2. 凡直角三角形都相似; 3.上课请不要讲话; 4.互为补角的两个角不相等; 5.你是高一学生吗? 解:1.真命题 它可以写成 10k+5 的形式(k 是非负整数),而 10k+5=5(2k+1),所以 10k+5 能被 5 整除。 2.假命题 取三个角分别是 900、450、450 的直角三角形,它与三个角分别是 900、600、300 的直角三角形不相似。 3.不是命题 不是判断语句。 4. 假命题
取一个角为 900,另一个角也为 9000,它们是互补的,但它们相等了. 5.不是命题 是疑问句,不是表示判断的陈述句。 结论:①命题必定由条件与结论两部分组成。
②假命题的确 定:举反例(举出一个满足条件,不满足结论的例子,一个 即可) [说明]:构造反例有时候很不容易,要充分注意命题的条件和结论,还要注意极端情况, 或运用类比手 段。
? 直接证明 ③真命题的确定:作出证明,方法 ????间接证明???同反一证法法
[说明]:反证法既是一种重要的数学思想,也是命题证明的一种方法. 2、推出关系:
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一般地,如果α 这件事成立可以推出β 这件事也成立,那么就说由α 可以推出β ,并 用记号α ? β 表示,读作“α 推出β ”。换言之,α ? β 表示以α 为条件,β 为结论的命题 是真命题。 例 2:设α 表示“两个角是对顶角”,β 表示为“两个角相等”,问能用“? ”表示α 、β 之 间关系吗?(补充例题)
解:α ? β 关系成立,但反过来不行。
例 3:在下列各题中,用符号“? ”或“ ? ”把α 、β 这两件事联系起来。(补充例题) 1. α :实数 x 满足 x2 ? 9 ,β : x ? 3 或 x ? ?3 。 (“α ? β ”) 2. α : A ? B ? U ,β : A ? U或B ? U (U 为全集)。(“α ? β ”) 3. α : A ? B ,β : A ? B ? A 。(“α ? β ”) 4. α : ab ? 0 ,β : a ? 0 。(“β ? α ”)
3、α 与β 等价:
如果α ? β ,β ? α ,那么记作? ? ? ,叫做α 与β 等价
4、传递性:α ? β ,β ? γ ,则α ? γ [来 三、巩固练习:
课本 P/17 练习 1.4(1)——1,2 四、课堂 小结:
本节课主要介绍了真假命题判断的方法及命 题的推出关系. 五、作业布置:
1、书面作业:P/20,习题 1.4——1
2、拓展作业:在下列各题中,用符号“? ”或“? ”或“ ? ”把α 、β 这两件事
联系起来:
(1) α : x 适合方程 x2 ? 5x ? 6 ? 0 ,β : x ? 2或x ? 3 ; (2) α : x ? ?3,β : x ? 3; (3) α : A ? B ,β : A ? B ? B ; (4) α :集合 M ? N ,β : M ? N ? N ? A 。
六、教学设计说明
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(1)命题的有关概念在初中平面几何中已经学过,因此可以通过具体的例子帮助学生回 顾旧知,为以后进一步研究命题做好铺垫。在推出关系的教学中,要强调命题的条件和结论, 要结合并集的概念强调“或”的三层含义。
(2)理解推出关系具有传递性,为以后学习充要条件做好准备。 (3)要明确有关数学符号、记号的意义,正确加以使用。 本单元中引进的数学符号、记号比较多,初学者往往不善于使用,对此教学中必须在每 一符号引进时,说明其意义,配备适当的例题、习题,逐步让学生熟悉这些符号,正确地运 用这些符号。

1.4 (2)命题的形式及等价关系

一、教学内容分析

教材介绍 了四种命题的构成及等价命题的概念,这给我们今后证明一个命题为真(假)

命题可转化该命题的等价命题(通常是逆否命题)为真(假)命题提供了理论依据。

本小节由命题条件的改变、结论的改变,构成四种命题形式:原命题、逆命题、否命

题、逆否命题。接着,通过具体的例题练习讲述四种命题的关系,最后,给出等价命题的定

义,提供了一种证明的方法,并通过具体的例题给出反证法。

二、教学目标设计

(1)理解四种命题的概念;

(2)理解四种命题之间的相互关系,能由原命题写出其他三种形式;

(3)理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系;

(4)初步 掌握反证法的概念,进一步领会分类、判断、推理的思想

方 法。

三、教学重点及难点

理解四种命题的关系;
体会反证法的理论依据。
四、教学用具准备
多媒体教室
五、教学流 程设计

复习引入

概念

四种命题

例题

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解释

(等价命题)

解析

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六、教学过程设计
一.复习提问: (1)什么是命题?什么是真命题 ?什么是假命题? (2)语句“内接于圆的四边形对角互补”是否是命题? (3)命题 “内接于圆的四边形对角互补”的条件与结论各是什么?
二.讲授新课: 关于四种命题 1、概念引入 在命题“内接于圆的四边形对角互补”中,条件是“内接于圆的四边形”,结论是“四 边形的对角互补”。 如果我们把以上命题作以下变化:
]
(1)如果把命题中的结论“四边形的对角互补”作为条件,把命题中的条件“内接于圆 的四边形” 作为结论,则得到了新命题“对角互补的四边形内接于 圆”。
我们把原来命题中的结论作为条件,原来命题中的条件作为结论所组成的新命题叫做原
来命题的逆命题。并且它们互为逆命题。
(2)如果将命题的条件和结论都换成它们的否定形式,即条件是“四边形不内接于圆”, 结论是“四边形对角不互补”,那么就可得到一个新命题:“不内接于圆四边形对角不互补”。
像这种将命题的条件与结论同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题。并且新
命题与原来的命题互为否命题。
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(3)如果将命题的条件和结论互换并取原来的否定形式,即条件是“四边形对角不互 补”,结论是“四边形不内接于圆”,那么就可得到一个新命题:“对角不互补的四边形不 内接于圆”。
像这种将命题的条件与 结论互换并同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题。
并且新命题与原来的命题互为否命题。 2、 概念形成 由以上例子归纳出四个命题的一般形式:
原命题: 如果?,那么?

逆命题: 如果?,那么?

否命题: 如果?,那么?

逆否命题: 如果?,那么?

并在四种命题之间的相互关系如下:

原命题
如果?,那末?
互否

互逆
逆逆 否否

互逆
否命题
3 、概如念果运?用,那(末例?题分析)

逆命题
如果?,那末?
互否
逆否命题
如果 ?,那末?

例 1:试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断其真假。(课本例题) 命题 A:如果两个三角形全等,那么它们面积相等; 命题 B:如果一个三角形两边相等,那么这两边所对的角也相等。
(过程略) [说明] 我们从以上的实例中发现:原命题与逆否命题是 同真同假的;逆命题与否命 题是同真同假的。我们可以用证明一个命题的逆否命题来证明原命题。 4、巩固练习 课本 P19,练习 1.4(2) 5、概念深化(拓展练习) 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断其真假性。(补充) ①负数的平方是正数;
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②正方形的 四条边相等; ③若 a=0,则 ab=0; ④若 a=b,则 ac=bc; ⑤全等三角形一定相似; ⑥末位数字是零的自然数能被 5 整除; ⑦对顶角相等; ⑧过半径的端点不与半径垂直的直线,不是这个圆的切线; [说明] 1、原命题为真,它的逆命题不一定为真。2、原命题为真,它的否命题不一定为真。 3、原命题为真,它的逆否命题一定为真。并可由此引入等价命题。 关于等价命题 1、概念引入(见上) 2、概念形成[来
如果 A , B 是两个命题, A ? B, B ? A,那么 A , B 叫做等价命题。
3、概念运用
例3 已知 BD 、 CE 分别是 ?ABC 的 ?B , ?C 的角平分线, BD ? CE 。求证: AB ? AC 。(课本 P19)
(过程略) [说明]1、 反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时,如果运用直接 证明法比较困难或难以证明时,可运用反证法进行证明。2、反证法证题的步骤(1)假设命 题的结论不成立,即假设结论的反面成立;(2)从假设出发,经过推理,得出矛盾;(3)由 矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
4、巩固练习 课本 P20 ,练习 1.4(3)
三、课堂小结: 1、四种命题的概念及形式 2、四种命题之间的关系及同真同假性。
四种命题的真假关系:原命题为真
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四、作业布置 课本 P20,习题 1.4—2,4,8,10。
七、教学设计说明
(1) 由命题的条件、结论的改变,构成四种命题形式:原命题、逆命题、否命题和逆 否命题。四种命题形式的构成虽然不难理解,但给出一种命题形式,要正确写出 它的另外三种命题形式却不容易。解决这个难点的关键是 分清命题的条件和结 论。必要时可先将命题改写成“如果…,那么 …”的形式。
(2) 另外,在写一个已知命题的否命题或逆否命题时,要把一个断语? 正确地变成它
?
的否定断语? ,初学者在这些地方时常出错。一般地,“是”的否定断语为“不 是”;“ ? ”的否定断语为“ ? ”;“ ? ”的否定断语为“<”;“都是”的否定断语
为“不都是”或“至少有一个不是”;等等。具体解题时,不要生搬硬套,要仔 细思考,以保正确。

教材:四种命 题的关系

命题

目的:要求学生理解四种命题的关系 ,并能利用这个关系判断命 题的真假。

过程:

一、复习:四种命题

提问:说出命题“若两个三角形全等,则 这两个三角形相似”的逆命题

否命题、逆否命题。(解答略)



1.接复习提问:原命题与逆否命题互逆否,否命题与逆命题互逆否,逆命

题与逆否命题互逆。

小结:得表:

互逆

原命题 互若 p否则 q

[来 K]





互为

逆否 逆

否命题 若?p 则?q

否 互逆

逆命题 互若 q否则 p
]
逆否命题 若?q 则?p

2.如果原命题为真,则逆命题、否命题、逆否命题真假如何?

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例:原命题:“若 a = 0 则 ab = 0”是真命题

逆命题:“若 ab = 0 则 a = 0”是假命题

否命题:“若 a ? 0 则 ab ? 0”是假命题

逆否命题:“若 ab ? 0 则 a ? 0”是真命题

小结:原命题为真,逆命题不一定为真,

否命题也不一定为真,逆否命题为真。

3.又例:若四边形 ABCD 为平 行四边形,则对角线互相平分。

它的逆命题、否命题、逆否命题均为真。

三、例题: P32 例二 (略) 又例:命题“若 x = y 则 x2 = y2”写出它的逆命题、否命题、逆否命题,

并判断它的真假。

解:逆命题:若 x2 = y2 则 x = y 否命题:若 x ? y 则 x2 ? y2 逆否命题:若 x2 ? y2 则 x ? y

(假,如 x = 1, y = ?1) (假,如 x = 1, y = ?1) (真)

又例:写出命题:“若 x + y = 5 则 x = 3 且 y = 2”的逆命题否命题逆否

命题,并判断它们的真 假。

解:逆命题:若 x = 3 且 y = 2 则 x + y = 5 (真)

否命 题:若 x + y ? 5 则 x ? 3 且 y?2

(真)

逆否命题:若 x ? 3 或 y?2 则 x + y ?5 (假)

四、作业

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