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北京工业大学线性代数第六章第七节正定二次型第八节正交替换化标准形_图文


第七节 正定二次型
一.正定二次型 二.正定二次型的判别法 三.正定矩阵在求多元函数极值中的应用

1

我们知道一元二次函数f(x)=x2 在x=0处
这是因为对任意实数 a ? 0,都 有 达到最小值,
f (a) ?a ?0 , 这表明一元二次函数的极值问题
2

与一元二次型f (x)=x2的性质密切相关。 问题:一般地,n元函数的极值问题是否也 与n元二次型的性质有关系?与n元二次型 的什么性质有关?
2

一.正定二次型 ⒈ 定义: 设 f (X )=XT AX是 n 元实二次型,
如果对任何一个非零向量X ,恒有f (X ) > 0,

则称实二次型f (X )正定二次型.
如果二次型f (X )=XT AX 是正定二次型 则矩阵A称为正定矩阵.

3

f (, x x , x )3 ? x ? 5 xx ? . 如① : 1 2 3
2 1 2 2 2 3

是正定二次型.
2 2 fxxx ( , , ) ? x ? 2 x ② 1 2 3 1 2

不是正定二次型.
0 ,0 ,3 )?0≯0 X ? ( 0 , 0 , 3 )0 ? ,f(
2 2 2 f (, x x , x ) ? x ? 2 xx ? ③ 123 1 2 3

不是正定二次型.
4

2. 正定二次型的性质 定理1: n元实二次型正定的充要条件为它的正 惯性指数等于n. 说明: n元实正定二次型 XT AX 的秩是n

推论1:n元实二次型 XT AX 正定
?它的规范形中n个系数均为1 ?它的标准形中n个系数均为正数。
5

定理2: 任意实二次型经过可逆线性替换保持 正定性不变.

证: 设实二次型 f (X )=XT AX 是正定的,
作可逆线性替换X= CY (C 是可逆矩阵), 变成实二次型 g (Y )=YTCTACY .

对任意 Y 0 ? ? , 设 X0 ? CY0 ? ? ,
6

∵ f (X )=XT AX是正定的,
T ? 0 ,0 ? f ( X ) ? XA 0 0 X

? g ( Y ) ? Y C A C Y 0 0
T T 0

? ( C Y )A ( C Y ) 0 0
T

? X AX0 ? 0 ,
T 0

g (Y )=YTCTACY是正定的. 与正定矩阵合同的实对称矩阵也是正 推论3: 定矩阵.
7

二.正定二次型的判别法
方法一 用定义

由推论1可知实二次型
2 2 n 1 1 2 2 2 n n

f ( x ,,,) xx ? d x ? d x ? ? d x 1 2
是正定的? di > 0 , i =1,2,…,n

方法二

用配方法或初等变换法化二次型 为标准形
8

方法三

判定二次型的矩阵是否是正定矩阵

由定义知,f (X )=XT AX是正定? A是正定矩阵.

所以, 判别A的正定性可知二次型f (X)的正定性.
定理3: n阶实对称矩阵A 正定 ?A的正惯性指数等于n ?A的合规范形是单位矩阵E,即存在可逆 矩阵P,使得 A=PTP .

?A的合同标准形中,主对角元素均为正数。
9

对于n阶实对称矩阵A,能找到正交矩阵 是A的全部特征值。因此我们有

T T使得T A T ? d i a g { ,, } , 其 中 ,, 1 2 n 1 2 n

? ? ?? ? ?

实对称矩阵A正定? A 的所有特征值全 推论1: 大于零. (特征值法)

推论2 实对称矩阵A正定 ? A ? 0.

证: 由A的行列式等于其特征值乘积得证。
10

注: A ? 0 ? A正定.
? 1 0 如: A? , 0 ?1
? 1 0 有 A? ? 1 ? 0 , 0 ? 1
2 2 f ( xx , ) ? ? x ? x 但以A 为矩阵的二次型 1 2 1 2

?

?

不是正定二次型,所以A不是正定矩阵.
11

为了从子式的角度研究矩阵正定的条 件,我们引入下述概念: 定义: 设 A ? ( a ij ) 是 n 阶方阵,k 阶子式
a a 1 1 1 2 a a 2 1 2 2 ? ? k a k 1 a k 2 a 1 k a 2 k a k k ,k? 1 ,2 , ,n

称为矩阵A的顺序主子式. 说明: n阶矩阵A的顺序主子式共有n个.
12

?1 2 如: A ? ? 2 1 ?3 4 ?

3? 4 ?, 0? ?

(P204---例)

1 2 3 ? 1 ? 1, ?2 ? 1 2 ? ?3 ,? 3 ? 2 1 4 = 23, 2 1 3 4 0

为矩阵A的三个顺序主子式.
定理: 实对称阵A为正定? A的各阶顺序主子

式都大于零. (顺序主子式法)
13

例1 判断下列二次型是否正定?
解:方法一 配方法

2 2 2 f ( x ,,) x xx ? 2 ? 5 x ? 5 x ??? 4 x x 4 x x 8 x x 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

2 2 2 f ( x ,,) x xx ? 2 ??? 4 x x 4 x x 5 x ? 5 x ? 8 x x 1 2 3 1 1 2 1 3 2 3 2 3

? 2 x? 4 xx ( 2? x ) ? 2 ( x ? x ) 1 3 2 3 2 2 2 ? 2 ( x ? x )? 5 x 5 x 8 x x 2 3 2? 3? 2 3
2 1

2

? 2 ( x ? x ? x ) ??? 3 x 3 x 4 x x 1 2 2 3
2 3 2 2 2 3

14

4 4 2 4 2 2 ? 2 ( x ? xx ? ) ? 3 ( x ? x x ? x ) ? x ? 3 x 1 2 2 3 3 3 3 3 9 3 2 2 5 2 2 ? 2 ( x ? x ? x ) ? 3 ( x ? x ) ? x 1 2 3 2 3 3 3 3
2 3 2 2

? y1 ? x 1 ? x 2 ? x 3 ? 2 令 ? y2 ? x2 ? x3 , 3 ? y ? x3 ? 3
2 1 2 2

? ? x1 ? y1 ? y2 ? ? ? 或 ? x2 ? y2 ? ? ?x ? ? ? 3

1 y3 3 2 y3 , 3 y3

5 2 f ?2 y ?3 y ? y ∴ f 是正定二次型. 3, 3
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方法二:矩阵的特征值法
? 2 2 ?2 ? 2 5 ?4 ?, 二次型f 的矩阵为 A ? ? ? ?2 ?4 5 ? ? ? ? ? 2 ? 2 2 2 ? EA ? ?? 2 ? ? 5 4? ( ? ? 1 ) ( ? ? 1 0 ) 2 4 ? ? 5

? ? 1 ( 二 重 ) , ? ? 1 0 , 1 2
∵A 的特征值都是正的, ∴ f 是正定二次型.
16

方法三:顺序主子式法 二次型f 的矩阵为 各阶顺序主子式为
? 2 2 ?2 ? A ? ? 2 5 ?4 ?, ? ?2 ?4 5 ? ? ?

2 2 ? 2 ? 5 ? 4=1 0 >0 , ?2 ? 2 2 ? 6 ? 0 , ?1 ? 2 ? 0 , 3? 2 2 5 ? 2 ? 4 5

∴ 二次型f 是正定二次型.
17

?1 2 0 ? 2 2 1 ?, 是否正定? 例2 判断矩阵 A ? ? ? 0 1 ?3 ? ? ? (P205---例6.7.3)

解:

1 2 ?? ? ? 2?0 , 2 2 2

∴A 不是正定矩阵. 例3 试证:实数域上任一n 阶可逆矩阵A ,

都有ATA是正定矩阵.
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证:方法一
T T T ( A A )? A A ,

?

A T A 是实对称阵,
? O , 任 意 X ? O ,A 可 逆 , ? A X

f () X ? X ( A A ) X ? (AX) (AX)? AX ? 0,
TT

T

2

∴ f 是正定二次型,
T ? AA 是 正 定 矩 阵.
19

方法二
T T T ( A A )? A A ,

?

A T A 是实对称阵,

A AA ? E A ,且A是可逆矩阵.
T T

T ? AA 与合 E 同 ,

∴ ATA是正定矩阵.
20

例4 t 满足什么条件时,下列二次型正定. (P206---例6.7.5)

2 2 2 f ( x , x ,) x ? 2 x ? 2 x ? 2 x ??? 2 t x x 2 t x x 2 t x x 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

解: 二次型 f 的矩阵为
? 2 ?t ?t ? A ? ? ?t 2 ?t ?, ? ?t ?t 2 ? ? ?

要使 f 正定,则A 的各阶顺序主子式
都大于零.
21

?? 2 ? 2 ? 0 , 1

2 ? t 2 ?? ? 4 ? t ? 0 , 2 ? t 2

2 ? t ? t 2 ?? ? t 2 ? t ? ( 2 ? 2 t ) ( 2 ? t ) ? 0 , 3 ? t ? t 2
2 4 ? t ? 0, ? 2 ? 2t ? 0

?

? 2 ? t ? 2 ? , t ?1

?

?? 2 ? t? 1 时,f 是正定二次型.
22

三.正定矩阵在求多元函数极值中的应用
2 ? f(X ) * HX ( ) ? ( ) , X 导数构成的n阶对称矩阵为 n ? n ? x ? x i j

2个二阶偏 ( xx , , , x ) 的 n 设n元函数 f 1 2 n

是f(X)的驻点,则

(1) X*是f(X)极小值点? H(X*)是正定矩阵 (2) X*是f(X)极大值点?-H(X*)是正定矩阵 例5设三元函数
2 2 2 f ( x , y , z ) ? 651 xy ? ?? 4 z 482 x y ? x zy ? z

求其极值。
23

解: 先求驻点,即解如下方程组
? ?f ? 12 x ? 4 y ? 8z ? 0 ? ?x ? ? ?f ? 10 y ? 4 x ? 2z ? 0 ? ? ?y ? ?f ? 28z ? 8 x ? 2 y ? 0 ? ? ?z

其系数行列式不等于0,有唯一解,得驻点(0,0,0)T f 的二阶偏导数矩阵
? ?2 f ? 2 ? x ? 2 ? f ? H ? ? ?y?x ? ?2 f ? ? ? ?z?x ?2 f ?x?y ?2 f ?y2 ?2 f ?z?y ?2 f ? ? ?x?z ? ?2 f ? ?y?z ? ?2 f ? ? 2 ?z ? ?

24

在驻点处为

?12 4 ?8? H ? ? 4 10 ?2? ? ??8 ?2 28? ?
其各阶顺序主子式
? ? 1 2 ? 0 , ? ? 1 0 4 ? 0 , ? ? 2 3 5 2 ? 0 1 2 3

从而是正定矩阵,于是(0,0,0)T是f(x,y,z)的极小

值点,极小值是 f (0,0,0)=0。
25

实二次型除了正定的以外,还有其他一些 类型。

定义: 设 f (X )=XT AX是 n 元实二次型, 如果对
任何一个非零向量X ,恒有
f ()0 X ? ( f ()0 X ? ,()0 f X ? )

则称实二次型f (X )是半正定(负定,半负定)的. 若f (X )既不是半正定的,也不是半负定的,则 称它是不定的。相应的实对称矩阵分别称为半 正定(负定,半负定)的,不定的。
26

例6 判别下列三元实二次型属于那种类型:
2 2 2 ( 1 ) y ? y ( 2 ) y 1 2 1 2 2 2 ( 4 ) ? y ? y ? y 1 2 3 2 2 2 ( 3 ) y ? y ? y 1 2 3 2 2 ( 5 ) ? y ? y 1 2

解:

(1)半正定
(4)负定

(2)半正定
(5)半负定

(3)不定

27

第八节 正交替换化二次型为标准形 设 f (X )=XT AX是 n 元实二次型, A为实 对称矩阵,则一定存在正交阵T,使得

? ? 1 ? ? 1 TA T ? ? ? ? ? ?
1 2 n

? 2

? , ? , , ? 的 n 为A 个特征值, 由T-1 =TT,

? ? ? d i a g ( ?? ,2 , , ? ) , 1 n ? ? ? n ?

T ? T A T ? ? ? d i a g ( ,,, ) , 12 n

? ??

因此可求出正交替换将二次型 f 化为标准形.
28

定理5 对任意一个 n 元实二次型f (X )=XT AX, 都存在一个正交替换 X =TY , 使得
f ( Xy ) ?? y ? ? y
2 2 1 1 2 2 2 n n

??

?

其 中 ?? , , , ? 为 A 的全部特征值, T 的 n 个 1 2 n

列向量是A 的相应的 n个单位正交特征向量.

29

例:用正交替换化二次型

(P207---例6.8.2)

2 2 fx ( , x ) ? 3 x ? 3 x ? 2 x x 1 2 1 2 12

为标准形,并求出所用的正交替换. 解: 二次型 f 的矩阵为

3 1 A? , 1 3

? ?

? ? 3 ? 1? ? E ? A ? ( ? ? 2 ) ( ? ? 4 ) , ? 1? ? 3
? 2 , ? 4 , 为A 的两个特征值. 1? 2?
30

?1 ? 2,

? ?

? 1 ? 1?x 0, 1? ? ? 0 ? 1 ? 1? x ? 2?

? ?

?? ??

1 , ? ? 基础解系 1 ? 1

? ?

?2 ? 4,

1 ? 1?x 0 1? ?? 0 , ? 1 1? x ? 2?

1 基础解系 ? 2 ? 1 ,

??

显然 ? 1 , ? 2 正交,只需将 ? 1 , ? 2 单位化即可,

31

1 ? 1? ? 1

? ?

?

? 1 ? ? ? 2 ?1 ? ? , ? 1 ? ? ?? ? 2 ? ?

1 ?2 ? 1

??

?

?

2

? 1 ? ? ? ? ? 2 ?, 1 ?? ?? ? 2 ?

? 1 ? ?T ? (?1 ,?2 ) ? ? 2 1 ? ?? 2 ?

1 ? ? 2 ?, 1 ? ? 2?
32

正交替换为
1 1 ? x1 ? y1 ? y2 ? ? 2 2 ? 1 1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ? 2 2 ?

2 0 TA T? , 0 4
T
2 2 f ? 2 y ? 4 y ∴二次型的标准形为 1 2.

? ?

33

典型习题 1 写出如下二次型的矩阵
x ? ? 145 ? ? 1 ? ? ? ? f ( x ,x ,x ) ? ( x ,x ,x ) 625 x 1 2 3 1 2 3 2 ? ? ? ? 9 3 8 x ? ? ? 3?

解:方法一 先写成和式再写矩阵
2 2 2 f ( x ,,) x x ? xx ? 1 0 x ? 1 4 x x ? 2 x ?? 8 x x 8 x 1 2 3 1 1 2 1 3 2 2 3 3

二次型的矩阵为

?1 ?5 ?7 ?

5 2 4

7 4 8

? ? ? ?
34

方法二 用公式

注意到f是一个数,因此有fT=f,即
T T TT f ? X B XX ? (T B X ) ? X B X



T 1T B ? B TT T f ?( X B X ? X B X ) ? X X 2 2

这里

B ? BT A? 2

是对称矩阵,为f 的矩阵。
35

2 已知如下二次型的秩是2,求常数a的值。
2 2 f ( x , x , xx ) ? ? 2 x x ? 2 x x ? a x 123 1 1 2 2 3 3

解: 二次型的矩阵为
?1 ?0 ?0 ? 1 ?1 1 0? 1? a? ?

R ( A ) ? 2 ? | A | ? ? 1 ? a ? 0 ? a ? ? 1

36

3 设G、H为n阶矩阵,则有结论(B )
(A)若G与H等价,则G与H合同 (B)若G与H合同,则G与H等价 (C)若G与H相似,则G与H合同 (D)若G与H合同,则G与H相似 4 设A、B为n阶正定矩阵,p>0,q>0, 证明: pA+qB 是正定矩阵(特别地,A+B是正定矩阵)。
证明:显然pA+qB是对称矩阵, 对任意X≠0,有
T T T X ( p A ? q B ) X ? p X A X ? q X B X ? 0

从而pA+qB 是正定矩阵。

37

5 设A是m×n矩阵,E为n阶单位阵,k>0, 证明: B=kE+ATA是正定矩阵。 证明:易知B是n阶对称阵,对任意X≠0,有
T T T T TT X B X ? X ( k E ? A A ) X ? k X X ? X A A X 2 2 ? k X ? A X ? 0

因此B是正定矩阵。 6 设A是m阶正定矩阵, B是m×n矩阵,且n≤m, 证明BTAB 是正定矩阵的充要条件是R(B)=n。 证明:必要性 设BTAB正定,则对任意X≠0,有 TT X B A B X ? 0 ?? B X O , 从而齐次线性方程组 BX=O 只有零解,则R(B)=n.
38

充分性:设R(B)=n, 则齐次线性方程组BX=O 只有零解,即对任意X≠0,有BX≠0, 由A是正 定矩阵,有
T T T ( B X ) A ( B X ) ? X B A B X ? 0 ,

矩阵BTAB显然是对称矩阵,从而是正定矩阵。 7 设A是n阶正定矩阵,A- E也是正定矩阵,证明: E-A-1是正定矩阵。 证明:因为
( E ? AE ) ? ? ( AE ) ? ? () A E ? A
? 1 T ? 1 T T ? 1 ? 1

所以E-A-1是对称矩阵。
39

0 ( i ? 1 , 2 , , n ) , 则A-1的 设A的特征值为 ? i?

特征值为

1

?i

(i ? 1,2,

, n), E-A-1的特征值为

1 1 ? i? 1 ? ? ( i? 1 ,2 , ,n ) ,

? i
i

? i

由于A-E是正定矩阵, 因此其特征值

? ? 1 ? 0 ( i ? 1 , 2 , ,) n ,
? i

从而E-A-1的特征值

1 1 ? i? 1 ? ? ? 0 ( i? 1 ,2 , ,n ) ,

? i

所以E-A-1是正定矩阵。
40



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