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《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修4第一章同角三角函数的基本关系式(二)课件_图文


1.2.3

同角三角函数的基本关系式(二)

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【学习要求】 1.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的化简和恒等式 的证明. 2.通过同角三角函数的基本关系的学习,培养三角函数恒等变形 的能力,体验化归的思想. 【学法指导】 1.三角函数式的化简实际上是一种不指定答案的恒等变形.化简 时,要善于观察待化简式子的结构特征,如果待化简的三角函 数是分式,应想办法去掉分母;如果出现高次,则应设法灵活 运用平方关系化高次为低次;如果待化简式子中含有根号,则 应将根号下化为完全平方式,再去掉根号. 2.在三角恒等式证明的过程中,要注意三角公式的灵活运用.由 于三角公式多,因此要“盯住目标”选择恰当公式.在同时含 有弦函数和切函数的三角函数式中,常“化切为弦”,统一为 弦函数后,再化简.

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1.同角三角函数的基本关系 2 2 2 2 cos α ;1 (1)平方关系: sin α+cos α =1.变形:1-sin α= 2 -cos2α= sin α . sin α cos α ;cos α (2)商数关系:tan α= .变形:sin α= tan α· cos α sin α = tan α . 2.(sin α+cos α)2= 1+2sin αcos α ; (sin α-cos α)2= 1-2sin αcos α . t2-1 3.若设 sin α+cos α=t,则 sin αcos α= 2 ; 1-t2 若设 sin α-cos α=t,则 sin αcos α= 2 .

探究点一

三角函数式的化简

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三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式, 其基本要求: 尽量减少角的种数, 尽量减少三角函数的种数, 尽量化为同角且同名的三角函数等.三角函数式的化简实质 上是一种不指定答案的恒等变形,体现了由繁到简的最基本 的数学解题原则.它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公 式,还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式.同时,这 类问题还具有较强的综合性,对其他非三角知识的运用也具 有较高的要求,因此在平常学习时要注意经验的积累.

化简三角函数式时,在题设的要求下,应合理利用有关公式, 常见的化简方法:异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角 的三角函数与特殊值互化等. 请按照上述标准化简下列三角函数式: 1+sin α 已知 α 是第三象限角,化简: - 1-sin α ?1+sin α?2 答 原式= - ?1-sin α??1+sin α? ?1+sin α?2 ?1-sin α?2 = cos2α - cos2α 1+sin α 1-sin α 2sin α = |cos α| - |cos α| =|cos α|. 1-sin α . 1+sin α

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?1-sin α?2 ?1+sin α??1-sin α?

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2sin α ∵α 是第三象限角,∴cos α<0.∴原式= =-2tan α. -cos α 1+sin α 1-sin α 即 - =-2tan α. 1-sin α 1+sin α

探究点二

三角恒等式的证明

证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一 的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活,常用的有以下几 种: ①直接法:从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常从比 较复杂、繁杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的 传递性; ②综合法: 由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要 证明的等式,其依据是等价转化的思想; ③中间量法:证明等式左右两式都等于同一个式子,其依据是 等于同一个量的两个量相等,即“a=c,b=c,则 a=b”,它 可由等量关系的传递性及对称性推出;

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④分析法:从结论出发,逐步向已知找条件,其证明过程的书 写格式为“要证明……,只需……”,只要所需的条件都已经 具备,则结论就成立; 左边 ⑤比较法:设法证明:“左边-右边=0”或“ =1”. 右边 1+sin α cos α 请选用上面的方法,证明三角恒等式 = ,并体 cos α 1-sin α 会上述方法的应用.
答 分析一 因为右边分母为 cos α,故可将左边式子分子、分 母同乘 cos α.
1-sin2α cos2α 证明 方法一 左边= = cos α?1-sin α? cos α?1-sin α? ?1-sin α??1+sin α? 1+sin α = = cos α =右边,∴原等式成立. cos α?1-sin α?

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分析二 方法二

由平方关系 sin2α+cos2α=1 移项得 ∵sin2α+cos2α=1,∴cos2α=1-sin2α.

cos2α=1-sin2α,再转化为此例式子. ∴cos2α=(1-sin α)· (1+sin α). 1+sin α cos α ∴ = . cos α 1-sin α
分析三 因为左边分母为 1-sin α,故可将右式分子、分母同 乘 1-sin α. ?1+sin α??1-sin α? 方法三 右边= cos α?1-sin α? 1-sin2α cos2α cos α = = = =左边, cos α?1-sin α? cos α?1-sin α? 1-sin α ∴原等式成立.

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分析四

只需证明左、右两边都与某个中间结果相等,为此可

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先使它们分母变为相同. cos2α 方法四 左边= , cos α?1-sin α? ?1+sin α??1-sin α? 1-sin2α 右边= = cos α?1-sin α? cos α?1-sin α? cos2α = , cos α?1-sin α? ∵左边=右边,∴原等式成立.

分析五

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只需证明:左式-右式=0. 1+sin α cos α 证法五 ∵ - cos α 1-sin α cos2α-?1+sin α??1-sin α? = cos α?1-sin α? cos2α-?1-sin2α? cos2α-cos2α = = =0, cos α?1-sin α? cos α?1-sin α? 1+sin α cos α ∴ = . cos α 1-sin α

[典型例题] tan α-sin α sin α 例 1 化简: · (其中 α 为第二象限角). 1-cos α tan α+sin α
sin α 解 原式= · 1-cos α sin α cos α-sin α sin α cos α+sin α

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1 cos α-1 sin α = · 1 1-cos α +1 cos α 1-cos α sin α = · 1-cos α 1+cos α ?1-cos α?2 sin α = · 1-cos α ?1+cos α??1-cos α?

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?1-cos α?2 sin α = · 1-cos α 1-cos2α sin α 1-cos α = · 1-cos α sin2α sin α 1-cos α = · 1-cos α |sin α| sin α = |sin α| ∵α 为第二象限角,∴原式=1. 小结 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用,切实分析好 同角三角函数间的关系.化简过程中常用的方法有:(1)化切为 弦,即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而 减少函数名称,达到化简的目的.(2)对于含有根号的,常把根 号下化成完全平方式,然后去根号,达到化简的目的.(3)对于 化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解.

1-cos4α-sin4α 跟踪训练 1 化简: . 1-cos6α-sin6α
?1-cos4α?-sin4α 解 原式= ?1-cos6α?-sin6α ?1-cos2α??1+cos2α?-sin4α = ?1-cos2α??1+cos2α+cos4α?-sin6α sin2α?1+cos2α?-sin4α = 2 sin α?1+cos2α+cos4α?-sin6α 1+cos2α-sin2α = 1+cos2α+cos4α-sin4α 2cos2α = 1+cos2α+?cos2α+sin2α??cos2α-sin2α? 2cos2α 2cos2α 2 = = 2 = . 1+cos2α+cos2α-sin2α 3cos α 3

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2sin xcos x-1 tan x-1 例 2 求证: = . cos2x-sin2x tan x+1
2sin xcos x-?sin2x+cos2x? 证明 方法一 ∵左边= cos2x-sin2x -?sin2x-2sin xcos x+cos2x? ?sin x-cos x?2 = = cos2x-sin2x sin2x-cos2x ?sin x-cos x?2 = ?sin x-cos x??sin x+cos x? sin x-cos x tan x-1 = = =右边. sin x+cos x tan x+1 ∴原式成立.

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sin x -1 sin x-cos x cos x 方法二 ∵右边= = ; sin x sin x+cos x +1 cos x 1-2sin xcos x ?sin x-cos x?2 左边= = sin2x-cos2x sin2x-cos2x ?sin x-cos x?2 sin x-cos x = = . ?sin x-cos x?· ?sin x+cos x? sin x+cos x ∴左边=右边,原式成立. 小结 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异,有目的
地进行化简. 证明三角恒等式的基本原则:由繁到简. 常用方法:从左向右证;从右向左证;左、右同时证. 常用技巧:切化弦、整体代换.

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tan α· sin α tan α+sin α 跟踪训练 2 证明: = . tan α · sin α tan α-sin α tan2α-sin2α 证明 方法一 右边= ?tan α-sin α?· tan α· sin α tan2α-tan2α· cos2α tan2α?1-cos2α? = = ?tan α-sin α?· tan α· sin α ?tan α-sin α?· tan α· sin α tan2α· sin2α tan αsin α = = ?tan α-sin α?· tan α· sin α tan α-sin α
=左边.
tan α· sin α sin α 方法二 左边= = , tan α-tan αcos α 1-cos α tan α+tan αcos α 1+cos α 右边= = tan αsin α sin α 1-cos2α sin2α sin α = = = . sin α?1-cos α? sin α?1-cos α? 1-cos α ∴左边=右边,原等式成立.

例 3 已知下列等式成立.

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2 2 sin θ cos θ 1 2 2 (1)asin θ-bcos θ= a +b ;(2) 2 + 2 = 2 2. m n a +b a2 b2 求证: 2+ 2=1. m n 证明 (1)式平方后得:

a2sin2θ+b2cos2θ-2absin θcos θ=a2+b2. 移项得: a2(1-sin2θ)+b2(1-cos2θ)+2absin θcos θ=0. ∴a2cos2θ+b2sin2θ+2absin θcos θ=0. 即(acos θ+bsin θ)2=0.

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∴acos θ=-bsin θ,∴a2cos2θ=b2sin2θ, 2 2 b a 从而 cos2θ= 2 2,sin2θ= 2 2. a +b a +b a2 b2 a2+b2 a2+b2 1 代入(2)式得: + 2 = 2 2. m2 n a +b a2 b2 ∴ 2+ 2=1. m n
小结 证明条件恒等式要充分利用条件.本题的结论和条件的 差异是前者不含 θ, 因此选择用 a、 b 表示出 sin2θ、 cos2θ 代入(2) 式消去 θ 后即得.

跟踪训练 3 已知 tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.
2 2 sin α 2sin β 证明 由 tan2α=2tan2β+1,得 2 = 2 +1, cos α cos β 2sin2β+cos2β sin2α 即 = , cos2β 1-sin2α sin2β+1 sin2α sin2β+1 sin2α ∴ = .∴ 1 = 2 (比例的性质), 1-sin2α 1-sin2β

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∴sin2β+1=2sin2α,即 sin2β=2sin2α-1.

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1.化简 sin2β+cos4β+sin2βcos2β 的结果是
解析 sin2β+cos4β+sin2βcos2β

1



=sin2β+cos2β(cos2β+sin2β) =sin2β+cos2β =1.

2.若 α 是第三象限角,化简


1+cos α + 1-cos α

1-cos α . 1+cos α

∵α 是第三象限角,∴sin α<0,

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由三角函数线可知-1<cos α<0. 1+cos α 1-cos α ?1+cos α?2 ∴ + = + 1-cos α 1+cos α 1-cos2α ?1-cos α?2 1-cos2α ? ? ? ?1+cos α?2 ?1-cos α?2 ? ?1+cos α? ?1-cos α? = ?+? sin α ? sin2α + sin2α =? sin α ? ? ? ? 1+cos α 1-cos α 2 =- sin α - sin α =-sin α.

tan θ· sin θ 1+cos θ 3.求证: = . sin θ tan θ-sin θ
sin θ sin θ cos θ· 证明 左边= sin θ cos θ-sin θ 1-cos2θ sin2θ = = sin θ-sin θcos θ sin θ?1-cos θ? ?1-cos θ?· ?1+cos θ? = sin θ· ?1-cos θ? 1+cos θ = =右边. sin θ ∴原等式成立.

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4.已知 6tan αsin

? π ? α=5,α∈?-2,0?,求 ? ?

tan α 的值.

6sin2α 解 ∵6tan αsin α=5,∴ cos α =5, ∴6sin2α-5cos α=0, ∴6(1-cos2α)-5cos α=0, ∴6cos2α+5cos α-6=0, 2 3 ∴cos α=3或 cos α=-2, ? π ? ∵α∈?-2,0?, ? ? 2 ∴cos α=3,sin α=- 1-cos2α=-
sin α 5 ∴tan α=cos α=- 2 .

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? 2? 1-?3?2=- ? ?

5 3.

1.在进行三角函数式的化简或求值时,细心观察题目的特征, 灵活、恰当的选用公式,统一角、统一函数、降低次数是三 角函数关系式变形的出发点. 利用同角三角函数的基本关系 主要是统一函数,要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.
2.在化简或恒等式证明时,注意方法的灵活运用,常用的技巧 有:①“1”的代换;②减少三角函数的个数(化切为弦、化 弦为切等);③多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思 想等);④对条件或结论的重新整理、变形,以便于应用同 角三角函数关系来求解.

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