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宁波市2004年高中段招生考试数学试题

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宁波市 2004 年高中段招生考试

数学试题

考生须知:

1.全卷分试题和答题卷,试题卷共 4 页,有三个大题,27 个小题。满分为 120 分。考 试时间为 120 分钟。

2.答卷必须使用蓝色或黑色墨水钢笔(或圆珠笔),画图可用铅笔,答卷必须做在答题卷 相应的位置上,做在试题卷上无效。

3.请将县(市)、区、学校、姓名、准考证号分别填写在答题卷的规定位置上。 一、填空题(每小题 3 分,共 36 分)

1.如果 a ? 2 ,那么 a ? _______ .

b3

a?b

2.在函数 y ? x ? 2 中,自变量 x 的取值范围是_________ .

3.已知 x ? y ? 5 ,且 x ? y ? 1,则 xy ? ____________ .

4.据《2003 年宁波市水资源公报》:2003 年末我市大中型水库蓄水总量仅为 293500000 m3 ,

比 2002 年末蓄水总量减少 341900000 m3 .用科学记数法表示 2002 年末蓄水总量为

_______ m3 .

5.如图, AB ∥ CD , CE 平分 ?ACD交 AB 于 E ,

A

E

B

?A ?118°,则 ?AEC 等于_______度.

6.如图为宁波港 1998 年~2003 年集装箱吞吐量统计

图,根据图中信息可得宁波港 2003 年集装箱吞吐

量是 1999 年集装箱吞吐量的__________倍(结果保 C

D

留两个有效数字) .

(第5题图)

300 吞吐量(万TEU)
250

200

150

100

50

0 1998

1999

2000

2001

(第 6 题图)

2002

2003

年份(年)

7.初三(1)班共有 48 名团员要求参加青年志愿者活动,根据实际需要,团支部从中随机选 择 12 名团员参加这次活动,该班团员李明能参加这次活动的概率是_________.
8.如图, DB 切⊙ O 于 A , ?AOM =66°,则 ?DAM =_________度.

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9.等腰三角形 ABC 中, BC ? 8, AB 、 AC 的长是关于 x 的方程 x2 ?10x ? m ? 0 的两根,则 m 的值是___________.
10.仔细观察下列图案,并按规律在横线上画出合适的图形.

0 M

11.已知: a ? 0 ,化简 4 ? (a ? 1 )2 ? 4 ? (a ? 1 )2 ? ___________. D

a

a

A (第8题图)

B

12.已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象交 x 轴于 A 、 B 两点,交 y

轴于 C 点,且 ?ABC 是直角三角形,请写出符合要求的一个二次函数的解析式: ____________ . 二、选择题(每小题 3 分,共 24 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)

13.抛物线 y ? (x ? 2)2 ?1 的顶点坐标为

A.(2,1)

B.(2,-1)

C.(-2,-1)

D.(-2,1)

14.如图,在 ?ABC 中,D 、E 分别是 AB 、AC 边的中点,且 AB ?10,

AC ?14, BC ?16 ,则 DE 等于

A

A.5

B.7

C.8

D.12

15.当 2 ? m ?1 时,点 P(3m ? 2, m ?1) 在 3

D

E

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限

D.第

四象限

B

C

(第14题图)

16.已知关于 x 的方程 1 x 2 ? (m ? 3)x ? m 2 ? 0 有两个不相等的实根,

4

那么 m 的最大整数是

A.2

B.-1

C.0

D.1

17.电压一定时,电流 I 与电阻 R 的函数图象大致是

18.如图,PA 切⊙ O 于 A ,割线 PBC 经过圆心 O ,交⊙ O 于 B、C 两点,若 PA ? 4 ,PB ? 2 , 则 tan?P 的值为

A. 4 3

B. 3 4

C. 5 4

D. 5 3

19.已知 a 、 b 为实数,且 ab ? 1 ,设 M ? a ? b , N ? 1 ? 1 ,则 M 、 N 的大小

a ?1 b?1

a ?1 b?1

关系是

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A. M ? N B. M ? N C. M ? N D.不确定

A

A

C

O

B

PD

E

B

C

(第18题图)

(第20题图)

20.如图,在四边形 ABCD中, E 是 AB 上一点, EC ∥ AD , DE ∥ BC ,若 S?BEC ? 1,

S?A D E? 3 ,则 S ?CDE 等于

A. 2

B. 3 2

C. 3 D.2

三、解答题(第 21 题 6 分, 22 题~25 题各 8 分,26 题 10 分,27 题 12 分,共 60 分)

21.计算: (? ? 3)0 ? ( 1 ) ?2 ? (?1)3 ? sin 2 450 2

22.解方程: ( x )2 ? 2( x ) ? 8 ? 0

x ?1

x ?1

23.如图,矩形 ABCD中, AB ? 1 ,若直角三角形 ABC 绕 AB 旋转所得圆锥的侧面积和矩

形 ABCD绕 AB 旋转所得圆柱的侧面积相等,求 BC A

D

的长.

B

C

(第23题图)

24.为缓解用电紧张矛盾,某电力公司特制定了新的用电收费标准,每月用电量 x (度)与应

付电费 y (元)的关系如图所示.

(1)根据图象,请分别求出当 0 ? x ? 50和 x ? 50 时, y 与 x 的函数关系式.

(2)请回答:

当每月用电量不超过 50 度时,收费标准是

______;

当每月用电量超过 50 度时,收费标准是

______.

25.如图,已知点 P 是边长为 4 的正方形 ABCD内

一点,且 PB ? 3, BF ? BP ,垂足是 B .请在射

线 BF 上找一点 M ,使以点 B 、 M 、C 为顶点的三角形 A

D

与 ?ABP 相似(请.注.意.:全等图形是相似图形的特例) .

P

B

C

F (第25题图) ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

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26.据气象台预报,一强台风的中心位于宁波(指城区,下同)东南方向( 36 6 ?108 2 )千米 的海面上,目前台风中心正以 20 千米/时的速度向北偏西 60°的方向移动,距台风中 心 50 千米的圆形区域均会受到强袭击.已知宁海位于宁波正南方向 72 千米处,象山位 于宁海北偏东 60°方向 56 千米处.请问:宁波、宁海、象山是否会受这次台风的强袭 击?如果会,请求出受强袭击的时间;如果不会,请说明理由.(为解决问题,须画出 示意图,现已画出其中一部分,请根据需要,把图形画完整)

A (宁波)

B (宁海)

(第26题图)

P (台风中心)

27.已知 AB 是半圆 O 的直径,AB ?16,P 点是 AB 上的一动点(不与 A 、B 重合) ,PQ ? AB , 垂足为 P ,交半圆 O 于 Q ;PB 是半圆 O1 的直径,⊙ O2 与半圆 O 、半圆 O1 及 PQ 都相切, 切点分别为 M 、 N 、 C . (1)当 P 点与 O 点重合时(如图 1) ,求⊙ O2 的半径 r ; (2)当 P 点在 AB 上移动时(如图 2) ,设 PQ = x ,⊙ O2 的半径 r .求 r 与 x 的函数关系式, 并求出 r 取值范围.

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QM C O2
N

A

0(P) O1

B

(第27题图 1)

QM C O2
N

A

P 0 O1

B

(第27题图 2)

宁波市 2004 年高中段招生考试
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数学试题参考答案及评分标准

一、填空题(每小题 3 分,共 36 分)

题号

1

2

3

4

5

6

答案

2

x ?2

6

6.354 ?108

31

4.6

5

题号

7

8

9

10

11

12

答案

1 4

147

25 或 16

-2

如: y ? x 2 ? x ?1

说明(1)第 9 题对一个答案给 2 分;(2)第 12 题答案不唯一,只须满足关系 ac ? ?1 .

二、选择题(每小题 3 分,共 24 分)

题号

13

14

15

16

17

18

19

20

答案

A

C

D

D

A

B

B

C

三、解答题(共 60 分) 21.(本题 6 分)

解:原式=1-4+(-1)- ( 2 )2 ……………………………………………………..(4 分) 2

=?4 1 2
22.(本题 8 分)

…………………………………………………………………(6 分)

解:令 y ? x ,得 y 2 ? 2y ? 8 ? 0 .…………………………………………… (2 分) x ?1

∴ (y ? 4)(y ? 2) ? 0 .

∴ y1 ? 4 , y2 ? ?2 .

………………………………………………………..(4 分)



y1

?

4

时,

x x ?1

?

4

,解得

x1

?

?

4 3





y2

?

?2 时,

x x ?1

? ?2 ,解得 x2

?

?

2 3

;……………………………………(7

分)

经检验

x1

?

?

4 3



x2

?

?

2 3

都是原方程的根.

∴原方程的根是 x1

?

?

4 3



x2

??2. 3

……………………………………………(8 分)

23.(本题 8 分)

解: ∵ S圆锥侧 ? ? ? BC ? AC ,

S圆柱侧 ? 2? ? BC ?CD ,

……………………………………………….(4 分)

又∵ S圆锥侧 ? S圆柱侧 , ∴ ? ? BC? AC ? 2? ? BC?CD ,

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∴ AC ? 2CD . ∵ ABCD为矩形, ∴ CD ? AB ?1, ∴ AC ? 2CD ? 2 ,
在 Rt?ABC中, BC ? AC 2 ? AB 2 ? 3 ,

∴ BC ? 3 .

………………………………………………………….(8 分)

24.(本题 8 分) 解:(1) ①当月用电量 0 ? x ? 50时, y 是 x 的正比例函数.

设 y ? k1x ,∵当 x ? 50时, y ? 25 ,

∴ 25 ? 50k1 ,

∴ k1 ?

1. 2

………………………………………………….(1 分)

∴y?1x。 2

………………………………………………………….(2 分)

②当月用电量 x ? 50 时, y 是 x 的一次函数.

设 y ? k2 x ? b , ∵当 x ? 50时, y ? 25 ;当 x ?100时, y ? 70 .



?25 ??70

? ?

50k 2 100k

? b, 2 ? b,



?k ??b

2 ? 0.9 ? ?20.

…………………………….(3 分)

∴ y ? 0.9x ? 20 .

……………………………………………………….(4 分)

(2)当每月用电量不超过 50 度时,收费标准是:

每度 0.50 元.

……………………………………………………….(6 分)

当每月用电量超过 50 度时,收费标准是:

其中的 50 度每度 0.5 元,超过部分每度 0.9 元。 …………………………….(8 分) 说明:只写每度 0.9 元,扣 1 分 25.(本题 8 分)

解:在射线

BF

上截取线段

BM 1

?

16 3

,连接

M1C



…………………………….(3 分)

?

AB ? BC ? 4?

?

BP ? 3

??

16 BM1 ? 3

? ? ?

16 BM1 ? 3 ? 4 ? BC , AB 4 3 BP

BF ? BP?

AB

?

BC

? ?

?

?ABP ? ?CBM1 ,

∴ ?M1BC ~ ?ABP .

……………………………………………………….(5 分)

在射线 BF 上截取线段 BM 2 ? BP ? 3 ,连接 M 2C , …………………………….(7 分)

AB ? BC ? 4 ?

?ABP

?

?CBM

2

? ?

?

BP ? BM 2 ? 3 ??

?CBM 2 ? ?ABP .(全等必相似)

∴在射线 BF 上取 BM1

?

16 3



BM

2

? 3 时, M1 , M 2 都为符合条件的 M



(说明:其他

解法请参照给分)

……………………………………………………….(8 分)

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26.(本题 10 分) 补画出示意图 PM 经过点 B .……………………………………….(1 分) 解:如图过 P 作东西方向(水平)直线与 AB (南北)延长线交于 O , 延长台风中心移动射线 PQ 与 AO 相交于 M .
∵ AP ? 36 6 ?108 2 , ?OAP ? ?APO ? 45°, AO ? OP,

∴ AO ? OP ? 36 3 ?108 , BO ? AO ? AB ? 36 3 ? 36 .
∵ ?OPM ? 30°, ∴ MO? OPtan 30°= (36 3 ?108) ? 3 ? 36 ? 36 3 ? OB ,
3 ∴ M 与 B 重合, ∴台风中心必经过宁海.………………………………….(3 分) ∴经过宁海的时间为 50? 2 ? 5 (时) . ……………………………………………(5 分)
20 如图 C 为象山,由题意可得 ?CBP ? 30°+30°=60°,
C 到 PQ 的距离 CN ? 56sin 60°= 28 3 ? 50 ,
∴象山会受到此次台风强袭击.…………………………………………………….(6 分) 求 受 袭 击 时 间 可 先 求 以 C 为 圆 心 , 50km 为 半 径 的 圆 与 PQ 相 交 的 弦 长 等 于

502 ? (28 3)2 ? 2 ? 4 37 ,

∴受袭击时间 4 37 ? 20 ? 37 (时) .…………………………………………….(8 分) 5

∵ A 到 PQ 的距离 AD ? AB?sin 60°= 72? 3 ? 36 3 ? 50 , 2
∴宁波不会遭受此次台风的强袭击. 综上所述:宁波不会遭受此次台风的强袭击;宁海:会,受袭击时间为 5 时;象山:

会,受袭击时间 37 时.(约 1 时 13 分) ……………………………………………….(10 分) 5
说明:答出宁海、象山会,宁波不会各得 1 分.
A

27.(本题 12 分)

解: (1)连结 OO2 、O1O2 、O2C ,作 O2 D ? AB 于

D .…………………………….(1 分)

∵⊙ O2 与⊙ O 、⊙ O1 、 PQ 相切,

Q

∴ OO2 = 8 ? r ,

……………………….(2 分)

C DB
N

P

O1O2 = 4 ? r .

……………………………….(3 分)

0

∵四边形 ODO2C 是矩形,

∴ OD ? r, O1D ? 4 ? r. ……………………………………………………………….(4 分)

根据勾股定理得: OO2 2 ? OD 2 ? O2 D 2 ? O1O2 2 ? O1D 2 ,

即: (8 ? r)2 ? r 2 ? (r ? 4)2 ? (4 ? r)2 ,………………………………………………….(5 分)

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∴ r ? 2 . ………………………… ………………………………………………….(6 分) (2) ∵ AB 是⊙ O 直径, PQ ? AB .
∴ PQ2 ? AP ? PB .
设⊙ O1 半径是 a , 则 x 2 ? 2a(16 ? 2a) ? 4(8a ? a 2 ) .
连结 O1O2 、 OO2 ,作 O2 D ? AB 于 D . ∴ O1O2 = a ? r , OO2 = 8 ? r , O1D ? O1P ? PD ? a ? r , OD? PB? PD?OB? 2a ?r ?8 ,………………………………………………….(8 分) 根据勾股定理得: O1O2 2 ? O1D 2 ? OO2 2 ? OD 2 ,

即: (a ? r)2 ? (a ? r)2 ? (8 ? r)2 ? (2a ? r ? 8)2 ,…………………………………………….(9 分)

化简得: 8r ? 8a ? a 2 .

∴ x2 ? 32r , 即 r ? 1 x2 .………………………………………………….(10 分) 32

∵0? x ?8,

∴0?r ?2.

……………………………………………………………….(12 分)

说明:其它解法相应给分

QM C O2
N

QM C O2
N

A

D

0(P) O1

B

A

P D 0 O1

B

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