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安徽省宿松县凉亭中学2018学年高中数学人教A版必修5同步学案:1.2第1课时有关测量距离的问题 含答案


第 1 课时 距离的测量 一、课前准备 (一)课时目标 1.能够运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些有关实际问题及不可到达的物体间的 距离问题。 2.了解常用的测量相关术语。 3.通过例题讲解和实践提高分析问题、解决问题的能力。 (二)基础预探 1.正弦定理(用数学式子表示): . 2.正弦定理的变形 ⑴ a ? 2R sin A,b ? ,c ? . ⑵ sin A ? a ,sin B ? , sin C ? . 2R ⑶ a ? sin B ? b ? , b ?sin C ? c ? , a ? sin C ? c ? . ⑷ a:b:c ? : : . ( R 为 ?ABC 的外接圆半径) ⒊余弦定理:错误!未找到引用源。 ;错误!未找到引用源。 ; 错误!未找到引用源。 . 4.余弦定理的推论:错误!未找到引用源。= ;错误!未找到引用源。= ; 错误!未找到引用源。= . 5.仰角:在同一铅直平面内,在低处向高处观察物体(视线在水平线上),视线与水平线的夹角 叫做 角;在高处向下观察物体(视线在水平线下),视线与水平线的夹角叫做 角. 6.方位角:从指北方向线 旋转到目标方向线的水平角.方位角的取值范围是 . 7.方向角:从指定方向线到目标方向线的水平角. 方位角的取值范围是 . 8.坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 坡度的取值范围是 . 二、基本知识习题化 1. 某人从 A 点向正东方走了错误!未找到引用源。km 到达 B 点后,向右转错误!未找到引用 源。,然后沿此方向走 3km 到达 C 点,此时他离出发点有( ) A.错误!未找到引用源。km B.错误!未找到引用源。km C.错误!未找到引用源。 km D.错误!未找到引用源。km 2.一船自西向东航行,上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75°、距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达 这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船航行的速度 ( ) 17 6 A. 2 海里/时 B.34 6海里/时 17 2 C. 2 海里/时 D.34 2海里/时 3. 两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 akm,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东错误!未找到引 用源。,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东错误!未找到引用源。,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( ) A.akm B.错误!未找到引用源。km C.错误!未找到引用源。km D.2akm 4.我舰在岛 A 南错误!未找到引用源。西 12 海里的 B 处,发现敌舰正从岛沿北错误!未找到 引用源。西的方向以每小时 10 海里的速度航行,若我舰要用 2 小时追上敌舰,则速度 为 . 三、学习引领 1、实际应用题中的有关名词术语要理解清楚. 2、与解斜三角形有关的公式 (1)正弦定理和余弦定理 (2)两角和与差的正弦余弦正切公式,二倍角公式等. 这些公式经常用到,要熟练掌握. 3、解斜三角形应用题的步骤 (1)准确理解题意,分清已知和所求,准确理解应用题中的有关术语,如坡度,仰角,俯角,视角, 象限角,方位角,方向角等; (2)根据题意画出示意图; (3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理的运用正弦定理余弦定理等有关知 识建立数学模型,然后正确求解. 四、典例导析 例 1 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别是 a、b、c,且 cos A=45. (1)求 sin2 B+2 C+cos 2A 的值; (2)若 b=2,△ABC 的面积 S=3,求 a. 思路导析:第(1)问中有错误!未找到引用源。和 2A,由此可以想到要利用二倍角公式,把角化成一 致,进而求解. 第(2)问求解时,由条件知道 cos A=45, b=2,要想求 a,只需求出 c 的值即可,而由面积公式 S△ABC =12bcsin A,可以求出 c 的值,则问题即可解决. 解:(1)sin2 B+C 2 +cos 2A=1-cos2(B+C)+cos 2A=1+c2os A+2cos2 A-1=5509. (2)∵cos A=45,∴sin A=35.由 S△ABC=12bcsin A,得 3=12×2c×35,解得 c=5. 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,可得 a2=4+25-2×2×5×45=13,∴a= 13. 规律总结:在三角形内,要注意三角形内角和定量及两角和与差的正余弦公式和二倍角公式的 应 用,与面积有关的问题要注意利用面积公式. 例 2.如图,A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上的两座灯塔的塔 顶.测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°、30°,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的 仰角均为 60°,AC=0.1 km.试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B、D 的距 离(结果保留根号). 思路导析:要求 BD 的长,需要把 BD 放在某个三角形中,根据条件知道△ABC 中的量有两角和一边是可知或可求的,所以在△ABC 中求解即可. 解 : 在 △ ACD 中 , ∠ DAC=30 ° , ∠ ADC=60 ° ? ∠ DAC=30 ° , 所 以 CD=AC=0.1. 又∠BCD=180° ? 60° ? 60°=60°, 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA. 在△ABC 中, AB ? AC , sin ?BAC sin ?ABC AC sin 600 3 2 ? 6 3 2? 6 所以 AB= ? ,∴BD= ? (km). sin 150 20 20 故 B、D 的距离为 3 2 ? 6 km. 20 规律总结


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