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2017年上海市静安区中考数学一模试卷--有答案


2017 年上海市静安区中考数学一模试卷

一、选择题(每小题 4 分,共 24 分) 1.a (a>0)等于( )

A. B.﹣

C. D.﹣

2.下列多项式中,在实数范围不能分解因式的是( ) A.x2+y2+2x+2y B.x2+y2+2xy﹣2 C.x2﹣y2+4x+4yD.x2﹣y2+4y﹣4

3.在△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,AC 上, = ,要使 DE∥BC,还需满足下列条件中的

()

A. = B. = C. = D. =

4.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,如果 AB=m,∠A=α,那么 AC 的长为( ) A.m?sinα B.m?cosα C.m?tanα D.m?cotα

5.如果锐角 α 的正弦值为 ,那么下列结论中正确的是( )

A.α=30° B.α=45° C.30°<α<45°D.45°<α<60° 6.将抛物线 y=ax2﹣1 平移后与抛物线 y=a(x﹣1)2 重合,抛物线 y=ax2﹣1 上的点 A(2,3) 同时平移到 A′,那么点 A′的坐标为( ) A.(3,4) B.(1,2) C.(3,2) D.(1,4)

二.填空题(每个小题 4 分,共 48 分) 7.16 的平方根是 .
8.如果代数式 有意义,那么 x 的取值范围为 .

9.方程

+ =1 的根为 .

10.如果一次函数 y=(m﹣3)x+m﹣2 的图象一定经过第三、第四象限,那么常数 m 的取值范 围为 . 11.二次函数 y=x2﹣8x+10 的图象的顶点坐标是 . 12.如果点 A(﹣1,4)、B(m,4)在抛物线 y=a(x﹣1)2+h 上,那么 m 的值为 . 13.如果△ABC∽△DEF,且△ABC 与△DEF 相似比为 1:4,那么△ABC 与△DEF 的面积比为 .
14.在△ABC 中,如果 AB=AC=10,cosB= ,那么△ABC 的重心到底边的距离为 .
1

15.已知平行四边形 ABCD 中,点 E 是边 BC 的中点,DE 与 AC 相交于点 F,设 = , 那么 = (用 , 的式子表示)

=,

16.在△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,△ADE∽△ABC,如果 AB=4,BC=5,AC=6,AD=3, 那么△ADE 的周长为 . 17.如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,DE∥BC,∠BDC=∠CED,如果 DE=4,CD=6, 那么 AD:AE 等于 .

18.一张直角三角形纸片 ABC,∠C=90°,AB=24,tanB= (如图),将它折叠使直角顶点 C 与斜 边 AB 的中点重合,那么折痕的长为 .

三、解答题(共 78 分)

19.计算:



20.解方程组:



21.已知:如图,第一象限内的点 A,B 在反比例函数的图象上,点 C 在 y 轴上,BC∥x 轴,点 A 的坐标为(2,4),且 cot∠ACB= 求:(1)反比例函数的解析式; (2)点 C 的坐标; (3)∠ABC 的余弦值.

2

22.将笔记本电脑放置在水平桌面上,显示屏 OB 与底板 OA 夹角为 115°(如图 1),侧面示意 图为图 2;使用时为了散热,在底板下面垫入散热架 O′AC 后,电脑转到 AO′B′的位置(如图 3), 侧面示意图为图 4,已知 OA=0B=20cm,B′O′⊥OA,垂足为 C. (1)求点 O′的高度 O′C;(精确到 0.1cm) (2)显示屏的顶部 B′比原来升高了多少?(精确到 0.1cm) (3)如图 4,要使显示屏 O′B′与原来的位置 OB 平行,显示屏 O′B′应绕点 O′按顺时针方向旋转 多少度? 参考数据:(sin65°=0.906,cos65°=0.423,tan65°=2.146.cot65°=0.446)
23.已知:如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,BC 上,BA?BD=BC?BE (1)求证:DE?AB=AC?BE; (2)如果 AC2=AD?AB,求证:AE=AC.
24.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=ax2+bx+4 与 x 轴的正半轴相交于点 A,与 y 轴 相交于点 B,点 C 在线段 OA 上,点 D 在此抛物线上,CD⊥x 轴,且∠DCB=∠DAB,AB 与 CD 相 交于点 E. (1)求证:△BDE∽△CAE; (2)已知 OC=2,tan∠DAC=3,求此抛物线的表达式.
3

25.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AC 与 BD 相交于点 O,AC=BC,点 E 在 DC 的延长线上, ∠BEC=∠ACB,已知 BC=9,cos∠ABC= . (1)求证:BC2=CD?BE; (2)设 AD=x,CE=y,求 y 与 x 之间的函数解析式,并写出定义域; (3)如果△DBC∽△DEB,求 CE 的长.
4

2017 年上海市静安区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 4 分,共 24 分) 1.a (a>0)等于( )

A. B.﹣

C. D.﹣

【考点】分数指数幂;负整数指数幂. 【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数,分数指数幂,可得答案.

【解答】解:a = = = ,

故选:C.

2.下列多项式中,在实数范围不能分解因式的是( ) A.x2+y2+2x+2y B.x2+y2+2xy﹣2 C.x2﹣y2+4x+4yD.x2﹣y2+4y﹣4 【考点】实数范围内分解因式. 【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可. 【解答】解:A、原式不能分解; B、原式=(x+y)2﹣2=(x+y+ )(x+y﹣ ); C、原式=(x+y)(x﹣y)+4(x+y)=(x+y)(x﹣y+4); D、原式=x2﹣(y﹣2)2=(x+y﹣2)(x﹣y+2), 故选 A

3.在△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,AC 上, = ,要使 DE∥BC,还需满足下列条件中的 () A. = B. = C. = D. = 【考点】平行线分线段成比例. 【分析】先求出比例式,再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC,根据相似推出∠ADE= ∠B,根据平行线的判定得出即可

5

【解答】解:

只有选项 D 正确, 理由是:∵AD=2,BD=4,

=,

∴ = =,
∵∠DAE=∠BAC, ∴△ADE∽△ABC, ∴∠ADE=∠B, ∴DE∥BC, 根据选项 A、B、C 的条件都不能推出 DE∥BC, 故选 D.

4.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,如果 AB=m,∠A=α,那么 AC 的长为( ) A.m?sinα B.m?cosα C.m?tanα D.m?cotα 【考点】锐角三角函数的定义. 【分析】根据余角函数是邻边比斜边,可得答案. 【解答】解:由题意,得
cosA= ,
AC=AB?cosA=m?cosα, 故选:B.

5.如果锐角 α 的正弦值为 ,那么下列结论中正确的是( ) A.α=30° B.α=45° C.30°<α<45°D.45°<α<60° 【考点】锐角三角函数的增减性. 【分析】正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小),可得答案.
【解答】解:由 < < ,得
30°<α<45°, 故选:C.
6

6.将抛物线 y=ax2﹣1 平移后与抛物线 y=a(x﹣1)2 重合,抛物线 y=ax2﹣1 上的点 A(2,3) 同时平移到 A′,那么点 A′的坐标为( ) A.(3,4) B.(1,2) C.(3,2) D.(1,4) 【考点】二次函数图象与几何变换. 【分析】根据两个抛物线的平移规律得到点 A 的平移规律,易得点 A′的坐标. 【解答】解:∵抛物线 y=ax2﹣1 的顶点坐标是(0,﹣1),抛物线 y=a(x﹣1)2 的顶点坐标是 (1,0), ∴将抛物线 y=ax2﹣1 向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位得到抛物线 y=a(x﹣1)2, ∴将点 A(2,3)向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位得到点 A′的坐标为(3,4), 故选:A.
二.填空题(每个小题 4 分,共 48 分) 7.16 的平方根是 ±4 . 【考点】平方根. 【分析】根据平方根的定义,求数 a 的平方根,也就是求一个数 x,使得 x2=a,则 x 就是 a 的平 方根,由此即可解决问题. 【解答】解:∵(±4)2=16, ∴16 的平方根是±4. 故答案为:±4.

8.如果代数式 有意义,那么 x 的取值范围为 x>﹣2 .
【考点】二次根式有意义的条件. 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式,解不等式即可. 【解答】解:由题意得,x+2>0, 解得,x>﹣2, 故答案为:x>﹣2.

9.方程

+ =1 的根为 x=2 .

【考点】解分式方程. 【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x 的值,经检验即可得到分

7

式方程的解. 【解答】解:去分母得:x﹣5+2x+2=x2﹣1, 整理得:x2﹣3x+2=0,即(x﹣2)(x﹣1)=0, 解得:x=1 或 x=2, 经检验 x=1 是增根,分式方程的解为 x=2, 故答案为:x=2
10.如果一次函数 y=(m﹣3)x+m﹣2 的图象一定经过第三、第四象限,那么常数 m 的取值范 围为 m<2 . 【考点】一次函数图象与系数的关系. 【分析】根据一次函数的性质,一次函数 y=(m﹣3)x+m﹣2 的图象一定经过第三、第四象限, 那么图象一定与 y 轴的负半轴有交点,即可解答. 【解答】解:∵一次函数 y=(m﹣3)x+m﹣2 的图象一定经过第三、第四象限, ∴图象一定与 y 轴的负半轴有交点, ∴m﹣2<0, ∴m<2, 故答案为:m<2.
11.二次函数 y=x2﹣8x+10 的图象的顶点坐标是 (4,﹣6) . 【考点】二次函数的性质. 【分析】将二次函数化为顶点式后即可确定其顶点坐标. 【解答】解:∵y=2x2﹣8x+10=2(x﹣4)2﹣6, ∴顶点坐标为(4,﹣6), 故答案为:(4,﹣6).
12.如果点 A(﹣1,4)、B(m,4)在抛物线 y=a(x﹣1)2+h 上,那么 m 的值为 3 . 【考点】二次函数图象上点的坐标特征. 【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称,可得答案. 【解答】解:由点 A(﹣1,4)、B(m,4)在抛物线 y=a(x﹣1)2+h 上,得 (﹣1,4)与(m,4)关于对称轴 x=1 对称, m﹣1=1﹣(﹣1), 解得 m=3,
8

故答案为:3.
13.如果△ABC∽△DEF,且△ABC 与△DEF 相似比为 1:4,那么△ABC 与△DEF 的面积比为 1: 16 . 【考点】相似三角形的性质. 【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论. 【解答】解:∵△ABC∽△DEF,且△ABC 与△DEF 相似比为 1:4, ∴△ABC 与△DEF 的面积比=( )2=1:16. 故答案为:1:16.

14.在△ABC 中,如果 AB=AC=10,cosB= ,那么△ABC 的重心到底边的距离为 2 .
【考点】三角形的重心;等腰三角形的性质;解直角三角形. 【分析】根据等腰三角形的三线合一,知三角形的重心在 BC 边的高上.根据勾股定理求得该高, 再根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的 2 倍,求得 G 到 BC 的距离. 【解答】解:∵AB=AC=10, ∴△ABC 是等腰三角形 ∴三角形的重心 G 在 BC 边的高
∵cosB= ,
∴在 BC 边的高=6, 根据三角形的重心性质 ∴G 到 BC 的距离是 2. 故答案为:2

15.已知平行四边形 ABCD 中,点 E 是边 BC 的中点,DE 与 AC 相交于点 F,设 = , = ,

那么 = ﹣

(用 , 的式子表示)

【考点】*平面向量;平行四边形的性质. 【分析】根据平行四边形的性质及中点的定义得 BC∥AD、BC=AD=2EC,再证△ADF∽△CEF 得
9

= ,根据 =

= ﹣ = ﹣(

)可得答案.

【解答】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形,点 E 是边 BC 的中点,

∴BC∥AD,BC=AD=2EC,

∴△ADF∽△CEF,



∴ = =2,

则 =, ∴= =﹣

= ﹣(



=﹣ (+)

=﹣,

故答案为: ﹣ .

16.在△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,△ADE∽△ABC,如果 AB=4,BC=5,AC=6,AD=3,

那么△ADE 的周长为



【考点】相似三角形的性质. 【分析】根据题意画出图形,根据相似三角形的性质求出 DE 及 AE 的长,进而可得出结论. 【解答】解:如图,∵△ADE∽△ABC,

∴ = = ,即 = = ,解得 DE= ,AE= ,

∴△ADE 的周长=AD+AE+DE=3+ + = ;

故答案为: .

17.如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,DE∥BC,∠BDC=∠CED,如果 DE=4,CD=6,
10

那么 AD:AE 等于 3:2 .

【考点】相似三角形的判定与性质. 【分析】由 DE∥BC,推出∠EDC=∠BCD, 此即可解决问题. 【解答】解:∵DE∥BC, ∴∠EDC=∠BCD, = ∵∠BDC=∠DEC, ∴△BDC∽△CED, ∴ = ==,

= ,由△BDC∽△CED,推出 = = = ,由

∴ =. 故答案为 3:2.

18.一张直角三角形纸片 ABC,∠C=90°,AB=24,tanB= (如图),将它折叠使直角顶点 C 与斜 边 AB 的中点重合,那么折痕的长为 13 .
【考点】翻折变换(折叠问题). 【分析】根据直角三角形的性质求出 CD,得到∠DCB=∠B,根据垂直的定义、等量代换得到∠ OEC=∠B,根据正切的定义、勾股定理计算即可. 【解答】解:∵CD 是斜边 AB 上的中线, ∴DC=DB= AB=12,
11

∴∠DCB=∠B, 由题意得,EF 是 CD 的垂直平分线, ∴∠OEC+∠OCE=90°,又∠DCB+∠OCE=90°, ∴∠OEC=∠B, 设 CF=2x,则 CE=3x, 由勾股定理得,EF= x,
×2x×3x= × x×6,
解得,x= , ∴EF= × =13, 故答案为:13.

三、解答题(共 78 分)

19.计算:



【考点】特殊角的三角函数值. 【分析】根据特殊角三角函数值,可得答案.

【解答】解:原式=

=

=



20.解方程组:



【考点】高次方程. 【分析】由②得出 x﹣3y=±2,由①得出 x(x﹣y+2)=0,组成四个方程组,求出方程组的解即 可.

12

【解答】解:

由②得:(x﹣3y)2=4, x﹣3y=±2, 由①得:x(x﹣y+2)=0, x=0,x﹣y+2=0,

原方程组可以化为:





解得,原方程组的解为:













21.已知:如图,第一象限内的点 A,B 在反比例函数的图象上,点 C 在 y 轴上,BC∥x 轴,点 A 的坐标为(2,4),且 cot∠ACB= 求:(1)反比例函数的解析式; (2)点 C 的坐标; (3)∠ABC 的余弦值.

【考点】待定系数法求反比例函数解析式;解直角三角形. 【分析】(1)待定系数法求解可得; (2)作 AE⊥x 轴于点 E,AE 与 BC 交于点 F,则 CF=2,根据 cot∠ACB= = 得 AF=3,即可知 EF,从而得出答案; (3)先求出点 B 的坐标.继而由勾股定理得出 AB 的长,最后由三角函数可得答案. 【解答】解:(1)设反比例函数解析式为 y= , 将点 A(2,4)代入,得:k=8, ∴反比例函数的解析式 y= ;
13

(2)过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E,AE 与 BC 交于点 F,则 CF=2,

∵cot∠ACB= = ,
∴AF=3, ∴EF=1, ∴点 C 的坐标为(0,1);

(3)当 y=1 时,由 1= 可得 x=8,

∴点 B 的坐标为(1,8),

∴BF=BC﹣CF=6,

∴AB=

=3 ,

∴cos∠ABC= = = .

22.将笔记本电脑放置在水平桌面上,显示屏 OB 与底板 OA 夹角为 115°(如图 1),侧面示意 图为图 2;使用时为了散热,在底板下面垫入散热架 O′AC 后,电脑转到 AO′B′的位置(如图 3), 侧面示意图为图 4,已知 OA=0B=20cm,B′O′⊥OA,垂足为 C. (1)求点 O′的高度 O′C;(精确到 0.1cm) (2)显示屏的顶部 B′比原来升高了多少?(精确到 0.1cm) (3)如图 4,要使显示屏 O′B′与原来的位置 OB 平行,显示屏 O′B′应绕点 O′按顺时针方向旋转 多少度? 参考数据:(sin65°=0.906,cos65°=0.423,tan65°=2.146.cot65°=0.446)

【考点】解直角三角形的应用.
14

【分析】(1)解直角三角形即可得到结论; (2)如图 2,过 B 作 BD⊥AO 交 AO 的延长线于 D,根据三角函数的定义即可得到结论; (3)如图 4,过 O′作 EF∥OB 交 AC 于 E,根据平行线的性质得到∠FEA=∠BOA=115°,于是得到 结论. 【解答】解:(1)∵B′O′⊥OA,垂足为 C,∠AO′B=115°, ∴∠AO′C=65°, ∵cos∠CO′A= , ∴O′C=O′A?cos∠CO′A=20?cos65°=8.46≈8.5(cm);
(2)如图 2,过 B 作 BD⊥AO 交 AO 的延长线于 D, ∵∠AOB=115°, ∴∠BOD=65°, ∵sin∠BOD= , ∴BD=OB?sin∠BOD=20×sin65°=18.12, ∴O′B′+O′C﹣BD=20+8.46﹣18.12=10.34≈10.3(cm), ∴显示屏的顶部 B′比原来升高了 10.3cm;
(3)如图 4,过 O′作 EF∥OB 交 AC 于 E, ∴∠FEA=∠BOA=115°, ∠FOB′=∠EO′C=∠FEA﹣∠O′CA=115°﹣90°=25°, ∴显示屏 O′B′应绕点 O′按顺时针方向旋转 25 度.
23.已知:如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,BC 上,BA?BD=BC?BE (1)求证:DE?AB=AC?BE;
15

(2)如果 AC2=AD?AB,求证:AE=AC.

【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】(1)由 BA?BD=BC?BE 得

,结合∠B=∠B,证△ABC∽△EBD 得

,即可得

证;

(2)先根据 AC2=AD?AB 证△ADC∽△ACB 得∠ACD=∠B,再由

证△BAE∽△BCD 得∠BAE=

∠BCD,根据∠AEC=∠B+∠BAE,∠ACE=∠ACD+∠BCD 可得∠AEC=∠ACE,即可得证. 【解答】证明:(1)∵BA?BD=BC?BE,





又∵∠B=∠B, ∴△ABC∽△EBD,





∴DE?AB=AC?BE;

(2)∵AC2=AD?AB,





∵∠DAC=∠CAB, ∴△ADC∽△ACB, ∴∠ACD=∠B,



,∠B=∠B,

∴△BAE∽△BCD, ∴∠BAE=∠BCD, ∵∠AEC=∠B+∠BAE,∠ACE=∠ACD+∠BCD, ∴∠AEC=∠ACE, ∴AE=AC.

24.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=ax2+bx+4 与 x 轴的正半轴相交于点 A,与 y 轴
16

相交于点 B,点 C 在线段 OA 上,点 D 在此抛物线上,CD⊥x 轴,且∠DCB=∠DAB,AB 与 CD 相 交于点 E. (1)求证:△BDE∽△CAE; (2)已知 OC=2,tan∠DAC=3,求此抛物线的表达式.

【考点】二次函数综合题. 【分析】(1)根据相似三角形的判定定理得到△BEC∽△DEA,根据相似三角形的性质定理得到

= ,根据相似三角形的判定定理证明即可;

(2)设 AC=m,根据正切的定义得到 DC=3m,根据相似三角形的性质得到∠DBA=∠DCA=90°, 根据勾股定理列出算式,求出 m 的值,利用待定系数法求出抛物线的解析式. 【解答】(1)证明:∵∠DCB=∠DAB,∠BEC=∠DEA, ∴△BEC∽△DEA,

∴ = ,又∠BED=∠CEA,

∴△BDE∽△CAE; (2)解:∵抛物线 y=ax2+bx+4 与 y 轴相交于点 B, ∴点 B 的坐标为(0,4),即 OB=4, ∵tan∠DAC=3,

∴ =3,

设 AC=m,则 DC=3m,OA=m+2, 则点 A 的坐标为(m+2,0),点 D 的坐标为(2,3m), ∵△BDE∽△CAE, ∴∠DBA=∠DCA=90°, ∴BD2+BC2=AD2,即 22+(3m﹣4)2+(m+2)2+42=m2+(3m)2, 解得,m=2, 则点 A 的坐标为(4,0),点 D 的坐标为(2,6),





17

解得,



∴抛物线的表达式为 y=﹣x2+3x+4.

25.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AC 与 BD 相交于点 O,AC=BC,点 E 在 DC 的延长线上, ∠BEC=∠ACB,已知 BC=9,cos∠ABC= . (1)求证:BC2=CD?BE; (2)设 AD=x,CE=y,求 y 与 x 之间的函数解析式,并写出定义域; (3)如果△DBC∽△DEB,求 CE 的长.

【考点】相似形综合题.
【分析】(1)只要证明△DAC∽△CEB,得到 = ,再根据题意 AC=BC,即可证明.
(2)过点 C 作 CF⊥AB 于 F,AG⊥BC 于 G,DH⊥BC 于 H.由△CEB∽△DAC,得 = ,由此 即可解决问题. (3)首先证明四边形 ABCD 是等腰梯形,再证明△ABG≌△DCH,推出 CH=BG=2,推出 x=GH=BC ﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5,再利用(2)中即可即可解决问题. 【解答】解:(1)∵∠DCB=∠ACD+∠ACB,∠DCB=∠EBC+∠BEC,∠ACB=∠BEC, ∴∠ACD=∠EBC, ∵AD∥BC, ∴∠DAC=∠ACB=∠CEB, ∴△DAC∽△CEB, ∴=, ∴BC?AC=CD?BE, ∵AC=BC, ∴BC2=CD?BF.
(2)过点 C 作 CF⊥AB 于 F,AG⊥BC 于 G,DH⊥BC 于 H.
18

在 Rt△CBF 中,BF=BC?cos∠ABC=9× =3,

∴AB=6,

在 Rt△ABG 中,BG=AB?cos∠ABC=6× =2,

∵AD∥BC,DH=AG, ∴DH2=AG2=AB2﹣BG2=62﹣22=32,

∵AG∥DH,

∴GH=AD=x,

∴CH=BC﹣BG﹣GH=7﹣x,

∴CD=

=

=



∵△CEB∽△DAC,

∴=,

∴=



∴y=



∴y=

(x>0 且 x≠9).

(3)∵△DBC∽△DEB,∠CDB=∠BDE,∠CBD<∠DBC, ∴∠DBC=∠DEB=∠ACB, ∴OB=OC, ∵AD∥BC, ∴=, ∴AC=BD, ∴四边形 ABCD 是等腰梯形, ∴AB=CD,∠ABC=∠DCB, ∵∠AGB=∠DHC=90°, ∴△ABG≌△DCH, ∴CH=BG=2, ∴x=GH=BC﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5.
19

∴CE=y= .
20

2017 年 2 月 12 日
21



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