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2019北师大版九年级数学上册第4章第2节平行线分线段成比例(共29张PPT)教育精品.ppt_图文


平行线分线段成比例

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当堂练习

学习目标

情境引入

1.学习并掌握平行线分线段成比例定理并学会运用. 2.了解并掌握平行线分线段成比例定理的推论. (重点) 3.能够运用平行线分线段成比例定理及推论解决问题.(难点)

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观察与思考

下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道 :AA1,BB1,CC1,DD1互相平行,且若AB=BC,你能猜想出 什么结果呢?

A

A1 a

B

B1 b

A1B1?B1C1

C

C1 c

l1

l2

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一 平行线分线段成比例的概念

如图,任意画两条直线l1,l2.再画三条与l1,l2相交

的平行线a,b,c分别度量l1,l2,被直线a,b,c截得的线

段是AB,BC,A1B1,B1C1,若AB=BC,

请问

AB BC



A1B 1 B 1C 1

相等吗?

A

A1 a

B
相等,都等于1.
C

B1 b C1 c

l1

l2

平移直线c,若

AB BC

?

2 3

,请问

AB BC



A B

1B 1C

1 1

相等吗?

证明:A B ? 2 .

BC 3

A

则把线段AB二等分,分点D.

D

过点D作直线d∥a,交l2于点D1. B

如图:把线段BC三等分.

E

三等分点为E,F,分

F

别过点E,F作直线

C

e∥a,f∥a,分别交

l1

l2于点E1,F1.

A1 a D1 d B1 b
E1 e F1 f
C1c
l2

若条件“ AB ? 2 ”改为“ AB ? m ”(其中m,n是正整数),

BC 3

BC n

请问 A 1 B 1 的结果是什么呢?

B 1C 1
类似地,进一步可证明,若 AB ? k
BC

A1B1 ? m B1C1 n

(其中k为无理数),则 从而 A1 B1 ? A B .
B1C1 B C

A1 B1 ? k B1C1

我们还可以得到

B C ? B1C 1 , A B ? A1 B1 , B C ? B1C 1 . A B A1 B1 A C A1C1 A C A1C 1

由此,得到以下基本事实 两条直线被一组平行线所截,所得的对应
线段成比例.
我们把以上基本事实简称为平行线分线段成 比例.

讲授新课
一 平行线分线段成比例定理(基本事实)
如图(1)小方格的边长都是1,直线a ∥b∥c ,分别交直线 m,n于 A1,A2,A3,B1,B2,B3.
(1)计算 A1 A2 , B1 B 2 你有什么发现?
A2 A3 B2 B3

(2) 将b向下平移到如下图2的位置,直线m,n与直 线b的交点分别为 A2, B2 .你在问题(1)中发现的结论还 成立吗?如果将b平移到其他位置呢?
(图2)

由此得到以下基本事实: 两条直线被一组平行线所截,所
得的对应线段成比例. 我们把以上基本事实简称为平行
线分线段成比例.

(3)在平面上任意作三条平行线,用它们截两条直线, 截得的线段成比例吗?

归纳 基本事实:两条直线被一组平行线所截,所截得的 对应线段成比例;

符号语言:

若a ∥b∥ c ,则

A1 A2 ? B1B2 A2 A3 B2 B3

.

议一议 1.如何理解“对应线段”?
2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式?

二 平行线分线段成比例的推论

如图3,直线a ∥b∥ c ,分别交直线m,n于 A1,A2,A3,B1, B2,B3 .过点A1作直线n的平行线,分别交直线b,c于点C2,
C3.如图4 ,图4中有哪些成比例线段?

m

n

m

n

A1

B1 a

A1

B1

a

A2 A3

B2 b

A2

B3 c A3

(图3)

C1

B2

b

C2

B3 c

(图4)

二 平行线分线段成比例定理的推论的运用

问题:如图,在△ABC中,已知DE∥BC,则
和 AD ? AE 成立吗?为什么?
AB AC

AD ? AE DB EC

M

A

如图,过点A作直线MN,使
N
MN//DE.

D

E

∵DE//BC,

∴MN//DE//BC.

B

C 因此AB,AC被一组平行线MN,

DE,BC所截.

则由平行线分线段成比例可知
AD ? AE , AD ? AE . DB EC AB AC
同时还可以得到
DB ? EC , DB ? EC . AD AE AB AC
由此得到以下结论:
平行于三角形一边的直线与其他两边相交, 截得的对应线段成比例.

过点 B 作直线 l3//l2,分别与直线 a,c 相

交于点 A2,C2,由于

a//b//c,l3//l2,因此由

A2 A

A1 a

“夹在两平行线间的

B

B1 b

平行线段相等”可知 A2B=A1B1,

C C2
l1 l3

C1 c
l2

BC2=B1C1.

在△BAA2 和△BCC2 中: ∠ABA2=∠CBC2,BA=BC, ∠BAA2=∠BCC2,
因此△BAA2≌△BCC2. 从而 BA2=BC2, 所以 A1B1=B1C1.

由此可以得到: 两条直线被一组平行线所截,如
果在其中一条直线上截得的线段相等, 那么在另一条直线上截得的线段也相 等.

归纳
推论1: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长
线),所得的对应线段成比例.
推论2: 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,
所截得的三角形与原三角形的对应边成比例

练一练 1.如图所示,在△ABC中,E,F,分别是AB和AC的点,且
EF∥BC.
(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少?

解: ∵EF∥BC,

A

∴ AE ? AF .
EB FC
∵AE = 7, EB = 5 , FC = 4.

E

F

∴ AF?AE?FC?7?4?28.
EB 5 5

B

C

(2)如果AB=10,AE=6,AF=5,那么FC的长是多少?

解: ∵EF∥BC,

A

∴ AE ? AF .
EB FC
∵AB = 10 , AE = 6 , AF = 5.

E

F

∴ AC?AB?AF?10?5?25.

B

C

AE 6 5

∴FC=AC – AF = 25 ? 5 ? 10 .

3

3

当堂练习

1.如图,已知l1∥l2∥l3,下列比例式中错误的是( D )

A. AC ? BD CE DF

B.

AC ? BD AE BF

C. AC ? DF D. AE ? BD

AE BF

BF AC

2、填空题:

如图:DE∥BC,
已知: AE ? 2 AC 5



AD AB

?

2 5.

E

D

A

B

C

3.已知:DE//BC, AB=15,AC=9,BD=4 .求AE的长. A

解: ∵ DE∥BC,

∴ —AB—= —AC— .(推论) BD CE

即 15 ? 9 , 4 CE

B

C

? CE ? 12 . 5

D

E

? AE ? AC ? CE ? 9 ? 12 ? 11 2 . 55

2.如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC 上,且DE∥BC,若AB=3,AD=2,EC=1.8,
求AC的长.

解:∵ DE//BC,
∴ MN//DE//BC, AD AE
∴ DB ? EC ,
∵ AB=3,AD=2,
∴ DB=1,∴AE=3.6 ∴AC= AE+EC=5.4

2.已知:如图,在△ABC 中,DE∥BC,EF∥AB, 试判断 ADDB=FBCF成立吗?并说明理由.
解:ADDB=FBCF成立.理由如下:∵DE∥BC,
∴ADDB=AECE.∵EF∥AB,∴FBCF=AECE.∴ADDB=FBCF

能力提升
1.如图,平行四边形ABCD中,点E是BA边延长线上一点, CE交对角线DB于点G,交AD边于点F.求证:CG2=GF·GE.
解:证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴DC∥AB, AD∥BC,∵DC∥AB,∴CGGE=DGGB,∵AD∥BC.∴CFGG =DBGG,∴CFGG=CGGE,故 CG2=GF·GE.

课堂小结
1.平行线分线段成比例定理(基本事实) 两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例. 2.平行线分线段成比例定理的推论 推论1:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 延长线),所得的对应线段成比例.
推论2:平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的 直线,所截得的三角形与原三角形的对应边成比例



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